Упр.1059 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнение прямой, содержащей медиану СМ. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Подробный ответ

Найдём координаты середины отрезка $$AB$$, так как точка $$M$$ — середина стороны $$AB$$:

$$ x_M=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{4+(-4)}{2}=0,\qquad y_M=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{6+0}{2}=3. $$

Значит, $$M(0;3)$$.

Теперь составим уравнение прямой, проходящей через точки $$C(-1;-4)$$ и $$M(0;3)$$. Пусть оно имеет вид

$$ax+by+c=0.$$

Так как точка $$M(0;3)$$ лежит на этой прямой, получаем:

$$ a\cdot 0+b\cdot 3+c=0 \;\Rightarrow\; 3b+c=0 \;\Rightarrow\; c=-3b. $$

Так как точка $$C(-1;-4)$$ тоже лежит на прямой, имеем:

$$ a(-1)+b(-4)+c=0. $$

Подставим $$c=-3b$$:

$$ -a-4b-3b=0 \;\Rightarrow\; -a-7b=0 \;\Rightarrow\; a=-7b. $$

Возьмём, например, $$b=-1$$. Тогда $$a=7$$, $$c=3$$, и уравнение прямой:

$$7x-y+3=0.$$

Докажем формулу для площади выпуклого четырёхугольника $$ABCD$$.

Пусть диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$O$$, а угол между ними равен $$\alpha$$. Тогда четырёхугольник разбивается на четыре треугольника:

$$ S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{DOA}. $$

По формуле площади треугольника через две стороны и синус угла между ними:

$$ S_{AOB}=\frac12 OA\cdot OB\sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 OA\cdot OB\sin\alpha, $$
$$ S_{BOC}=\frac12 OB\cdot OC\sin\alpha, $$
$$ S_{COD}=\frac12 OC\cdot OD\sin(180^\circ-\alpha)=\frac12 OC\cdot OD\sin\alpha, $$
$$ S_{DOA}=\frac12 OD\cdot OA\sin\alpha. $$

Складываем:

$$ \begin{aligned} S_{ABCD} &=\frac12 OA\cdot OB\sin\alpha+\frac12 OB\cdot OC\sin\alpha+\frac12 OC\cdot OD\sin\alpha+\frac12 OD\cdot OA\sin\alpha \\ &=\frac12 \sin\alpha\,(OA\cdot OB+OB\cdot OC+OC\cdot OD+OD\cdot OA) \\ &=\frac12 \sin\alpha\,(OA+OC)(OB+OD). \end{aligned} $$

Но $$OA+OC=AC$$, а $$OB+OD=BD$$, значит

$$ S_{ABCD}=\frac12 AC\cdot BD\cdot \sin\alpha. $$