Упр.1055 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение окружности с диаметром MN, если: а) М (-3; 5), N (7; -3); б) М (2; -1), N (4; 3). Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Пусть в равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание — $$AC$$, а боковые стороны равны $$AB=BC$$. Обозначим через $$AA_1$$ и $$BB_1$$ медианы, проведённые к боковым сторонам, и по условию $$AA_1 \perp BB_1$$.
Введём векторы:
$$\overrightarrow{CA_1}=\vec a,\qquad \overrightarrow{CB_1}=\vec b.$$
Так как $$A_1$$ — середина $$BC$$, а $$B_1$$ — середина $$AC$$, то
$$\overrightarrow{CA} = 2\vec b,\qquad \overrightarrow{CB} = 2\vec a.$$
Тогда
$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CA_1}-\overrightarrow{CA}=\vec a-2\vec b,$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{CB}=\vec b-2\vec a.$$
Из условия перпендикулярности медиан получаем:
$$\overrightarrow{AA_1}\cdot \overrightarrow{BB_1}=0.$$
Подставим выражения:
$$ (\vec a-2\vec b)(\vec b-2\vec a)=0 $$
$$ \vec a\cdot \vec b-2\vec a\cdot \vec a-2\vec b\cdot \vec b+4\vec a\cdot \vec b=0 $$
$$ 5\vec a\cdot \vec b-2a^2-2b^2=0. $$
Так как треугольник равнобедренный, то $$CA_1=CB_1$$, значит $$|\vec a|=|\vec b|$$ и потому $$a^2=b^2$$. Тогда
$$ 5\vec a\cdot \vec b-4a^2=0. $$
Но
$$ \vec a\cdot \vec b=a^2\cos \angle C. $$
Следовательно,
$$ 5a^2\cos \angle C-4a^2=0, $$
$$ \cos \angle C=\frac{4}{5}. $$
Тогда
$$ \angle C=\arccos \frac{4}{5}\approx 36^\circ 52′. $$
Ответ
$$36^\circ 52’$$
