Упр.1055 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Задание учебника 2025 года. Напишите уравнение окружности с диаметром $$MN$$, если:
а) $$M(-3; 5),\ N(7; -3)$$;
б) $$M(2; -1),\ N(4; 3)$$. - Задание учебника 2023 года. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведённые к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Обозначим вершины равнобедренного треугольника так, что основание — $$AC$$, а боковые стороны — $$AB$$ и $$BC$$. Пусть $$AA_1$$ и $$BB_1$$ — медианы, причём $$AA_1 \perp BB_1$$.
Введём векторы:
$$\overrightarrow{CA_1}=\vec a,\qquad \overrightarrow{CB_1}=\vec b.$$
Так как $$A_1$$ и $$B_1$$ — середины сторон $$BC$$ и $$AC$$, то
$$CA_1=CB_1=a,$$
а также
$$\overrightarrow{AA_1}=\overrightarrow{CA_1}-\overrightarrow{CA}=\vec a-2\vec b,$$
$$\overrightarrow{BB_1}=\overrightarrow{CB_1}-\overrightarrow{CB}=\vec b-2\vec a.$$
Из условия перпендикулярности медиан получаем:
$$\overrightarrow{AA_1}\cdot \overrightarrow{BB_1}=0.$$
Тогда
$$(\vec a-2\vec b)(\vec b-2\vec a)=0$$
$$\vec a\cdot \vec b-2\vec a\cdot \vec a-2\vec b\cdot \vec b+4\vec a\cdot \vec b=0$$
$$5\vec a\cdot \vec b-4a^2=0.$$
Но
$$\vec a\cdot \vec b=a^2\cos \angle C,$$
поэтому
$$5a^2\cos \angle C-4a^2=0,$$
$$\cos \angle C=\frac45.$$
Следовательно,
$$\angle C=\arccos \frac45 \approx 36^\circ 52′.$$
Ответ
$$36^\circ 52′.$$
