Упр.1054 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение окружности с центром в точке А (0; 6), проходящей через точку В (-3; 2). Докажите, что если AM — медиана треугольника ABC, то 4AM2 = АВ2 + АС2 + 2АВ x АС x cosА. Пользуясь этой формулой, докажите, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Подробный ответ

1) Уравнение окружности с центром в точке $$A(0;6)$$ имеет вид

$$x^2+(y-6)^2=R^2.$$

Найдём радиус по расстоянию от центра до точки $$B(-3;2)$$:

$$R=AB=\sqrt{(-3-0)^2+(2-6)^2}=\sqrt{9+16}=5.$$

Следовательно, уравнение окружности:

$$x^2+(y-6)^2=25.$$

2) Пусть $$M$$ — середина стороны $$BC$$, то есть $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$. Обозначим $$BC=a$$, $$AC=b$$, $$AB=c$$, а угол между сторонами $$AB$$ и $$AC$$ равен $$\angle A$$.

Рассмотрим треугольники $$ABM$$ и $$ACM$$. По теореме косинусов:

$$BM^2=AB^2+AM^2-2\cdot AB\cdot AM\cos\angle BAM,$$

$$CM^2=AC^2+AM^2-2\cdot AC\cdot AM\cos\angle CAM.$$

Так как $$M$$ — середина $$BC$$, то $$BM=CM$$. Кроме того, точки $$B, M, C$$ лежат на одной прямой, поэтому углы $$\angle BAM$$ и $$\angle CAM$$ дополняют друг друга до угла $$\angle A$$. Удобнее воспользоваться формулой для медианы, получаемой из теоремы косинусов:

$$4AM^2=2AB^2+2AC^2-BC^2.$$

Так как по теореме косинусов

$$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\angle A,$$

то после подстановки имеем

$$4AM^2=2AB^2+2AC^2-\bigl(AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos\angle A\bigr).$$

Следовательно,

$$4AM^2=AB^2+AC^2+2AB\cdot AC\cos\angle A.$$

3) Докажем, что медианы равнобедренного треугольника, проведённые к боковым сторонам, равны.

Пусть $$ABC$$ — равнобедренный треугольник, где $$AB=AC$$. Обозначим через $$BN$$ и $$CK$$ медианы, проведённые к боковым сторонам $$AC$$ и $$AB$$ соответственно.

По полученной формуле для медианы:

$$4BN^2=AB^2+BC^2+2AB\cdot BC\cos\angle B,$$

$$4CK^2=AC^2+BC^2+2AC\cdot BC\cos\angle C.$$

В равнобедренном треугольнике $$AB=AC$$ и $$\angle B=\angle C$$, значит правые части равны. Поэтому

$$4BN^2=4CK^2,$$

откуда

$$BN=CK.$$