Упр.1053 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В(-1; 3). Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если a = 3p-2q и b=р + 4q, где р и q — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Подробный ответ

1) Так как центр окружности находится в начале координат, её уравнение имеет вид $$x^2+y^2=R^2.$$

Точка $$B(-1;3)$$ лежит на окружности, значит радиус равен расстоянию от начала координат до точки $$B$$:

$$OB=\sqrt{(-1-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.$$

Следовательно, $$R^2=10$$, и уравнение окружности:

$$x^2+y^2=10.$$

2) Найдём скалярное произведение векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$, если $$\vec a=3\vec p-2\vec q,$$ $$\vec b=\vec p+4\vec q,$$ где $$\vec p$$ и $$\vec q$$ — единичные взаимно перпендикулярные векторы.

Так как $$\vec p \perp \vec q,$$ то $$\vec p\cdot\vec q=0,$$ а также $$\vec p\cdot\vec p=\vec q\cdot\vec q=1.$$ Тогда

$$ \vec a\cdot\vec b=(3\vec p-2\vec q)(\vec p+4\vec q) $$

$$ \vec a\cdot\vec b=3\vec p\cdot\vec p+12\vec p\cdot\vec q-2\vec q\cdot\vec p-8\vec q\cdot\vec q $$

$$ \vec a\cdot\vec b=3\cdot 1+12\cdot 0-2\cdot 0-8\cdot 1=3-8=-5. $$