Упр.1050 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: На окружности, заданной уравнением (x — 3)2 + (y- 5)2 = 25, найдите точки: а) с абсциссой 3; б) с ординатой 5. Вычислите |а + b| и | а — b |, если | а | = 5, |b | = 8, аb- 60°.

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(3;5)$$, а радиус равен $$R=5$$.

а) Найдём точки окружности с абсциссой $$x=3$$. Подставим это значение в уравнение:

$$ (3-3)^2+(y-5)^2=25 $$

$$ (y-5)^2=25 $$

$$ y-5=\pm 5 $$

Отсюда:

$$ y_1=10,\quad y_2=0 $$

Значит, искомые точки: $$A(3;10)$$ и $$B(3;0)$$.

б) Найдём точки окружности с ординатой $$y=5$$. Подставим это значение в уравнение:

$$ (x-3)^2+(5-5)^2=25 $$

$$ (x-3)^2=25 $$

$$ x-3=\pm 5 $$

Отсюда:

$$ x_1=-2,\quad x_2=8 $$

Значит, искомые точки: $$C(-2;5)$$ и $$D(8;5)$$.

Вычислим $$|\vec a+\vec b|$$ и $$|\vec a-\vec b|$$.

Используем формулы:

$$ |\vec a+\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2+2|\vec a||\vec b|\cos 60^\circ $$

$$ |\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2|\vec a||\vec b|\cos 60^\circ $$

Так как $$|\vec a|=5$$, $$|\vec b|=8$$, $$\cos 60^\circ=\frac12$$, получаем:

$$ |\vec a+\vec b|^2=5^2+8^2+2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac12=25+64+40=129 $$

$$ |\vec a+\vec b|=\sqrt{129} $$

$$ |\vec a-\vec b|^2=5^2+8^2-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac12=25+64-40=49 $$

$$ |\vec a-\vec b|=7 $$

Ответ

а) $$A(3;10)$$, $$B(3;0)$$; б) $$C(-2;5)$$, $$D(8;5)$$; $$|\vec a+\vec b|=\sqrt{129}$$, $$|\vec a-\vec b|=7$$.