Упр.1048 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Даны окружность х2 + у2 = 25 и две точки А (3; 4) и В (4;-3). Докажите, что АВ — хорда данной окружности. Найдите косинусы углов треугольника с вершинами А (2; 8), В (-1; 5), С (3; 1).

1) Проверим, лежат ли точки $$A(3;4)$$ и $$B(4;-3)$$ на окружности $$x^2+y^2=25$$.

Для точки $$A$$:

$$3^2+4^2=9+16=25.$$

Значит, точка $$A$$ принадлежит окружности.

Для точки $$B$$:

$$4^2+(-3)^2=16+9=25.$$

Значит, точка $$B$$ тоже принадлежит окружности.

Так как обе точки $$A$$ и $$B$$ лежат на данной окружности, то отрезок $$AB$$ является хордой по определению.

2) Найдём косинусы углов треугольника $$ABC$$, где $$A(2;8),\ B(-1;5),\ C(3;1).$$

Сначала вычислим длины сторон:

$$AB=\sqrt{(2-(-1))^2+(8-5)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2},$$

$$BC=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-5)^2}=\sqrt{4^2+(-4)^2}=4\sqrt{2},$$

$$AC=\sqrt{(3-2)^2+(1-8)^2}=\sqrt{1^2+(-7)^2}=5\sqrt{2}.$$

По теореме косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle A,$$

$$\left(4\sqrt{2}\right)^2=\left(3\sqrt{2}\right)^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos \angle A,$$

$$32=18+50-60\cos \angle A,$$

$$60\cos \angle A=36,$$

$$\cos \angle A=\frac{36}{60}=\frac{3}{5}=0{,}6.$$

Аналогично:

$$AC^2=AB^2+BC^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B,$$

$$\left(5\sqrt{2}\right)^2=\left(3\sqrt{2}\right)^2+\left(4\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 3\sqrt{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \cos \angle B,$$

$$50=18+32-48\cos \angle B,$$

$$48\cos \angle B=0,$$

$$\cos \angle B=0.$$

И для угла $$C$$:

$$AB^2=BC^2+AC^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos \angle C,$$

$$\left(3\sqrt{2}\right)^2=\left(4\sqrt{2}\right)^2+\left(5\sqrt{2}\right)^2-2\cdot 4\sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}\cdot \cos \angle C,$$

$$18=32+50-80\cos \angle C,$$

$$80\cos \angle C=64,$$

$$\cos \angle C=\frac{64}{80}=\frac{4}{5}=0{,}8.$$

Ответ

$$AB$$ — хорда данной окружности; $$\cos \angle A=0{,}6,\ \cos \angle B=0,\ \cos \angle C=0{,}8.$$