Упр.1046 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Какие из точек $$A(3;-4)$$, $$B(1;0)$$, $$C(0;5)$$, $$D(0;0)$$ и $$E(0;1)$$ лежат на окружности, заданной уравнением:
   а) $$x^2+y^2=25$$;
   б) $$(x-1)^2+(y+3)^2=9$$;
   в) $$(x-\frac{1}{2})^2-y^2=\frac{1}{4}$$?
2. Докажите, что векторы $$i+j$$ и $$i-j$$ перпендикулярны, если $$i$$ и $$j$$ — координатные векторы.

Проверим подстановкой координат точек в уравнения окружностей.

а) $$x^2+y^2=25$$

Для точки $$A(3;-4)$$ получаем:

$$3^2+(-4)^2=9+16=25,$$

значит, точка $$A$$ лежит на окружности.

Для точки $$C(0;5)$$:

$$0^2+5^2=25,$$

значит, точка $$C$$ тоже лежит на окружности.

Точки $$B(1;0),\ D(0;0),\ E(0;1)$$ не подходят, так как:

$$1^2+0^2=1,\quad 0^2+0^2=0,\quad 0^2+1^2=1.$$

б) $$(x-1)^2+(y+3)^2=9$$

Для точки $$B(1;0)$$:

$$(1-1)^2+(0+3)^2=0+9=9,$$

значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

Остальные точки не подходят.

в) $$(x-\tfrac12)^2+y^2=\tfrac14$$

Для точки $$B(1;0)$$:

$$\left(1-\tfrac12\right)^2+0^2=\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac14,$$

значит, точка $$B$$ лежит на окружности.

Для точки $$D(0;0)$$:

$$\left(0-\tfrac12\right)^2+0^2=\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac14,$$

значит, точка $$D$$ тоже лежит на окружности.

Ответ: а) $$A$$ и $$C$$; б) $$B$$; в) $$B$$ и $$D$$.