Упр.1045 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Задание учебника 2025 года. Начертите окружность, заданную уравнением:
   а) $$x^2+y^2=9$$;
   б) $$(x-1)^2+(y+2)^2=4$$;
   в) $$(x+5)^2+(y-3)^2=25$$;
   г) $$(x-1)^2+y^2=4$$;
   д) $$x^2+(y+2)^2=2$$.
2. Задание учебника 2023 года. Докажите, что ненулевые векторы $$\mathbf{a}=(x;y)$$ и $$\mathbf{b}=(-y;x)$$ перпендикулярны.

Уравнение окружности имеет вид $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2,$$ где $$O(a;b)$$ — центр окружности, $$R$$ — её радиус.

1. $$x^2+y^2=9$$

   Значит, $$O(0;0),\quad R=3.$$

2. $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=4$$

   Значит, $$O(1;-2),\quad R=2.$$

3. $$\left(x+5\right)^2+\left(y-3\right)^2=25$$

   Значит, $$O(-5;3),\quad R=5.$$

4. $$\left(x-1\right)^2+y^2=4$$

   Значит, $$O(1;0),\quad R=2.$$

5. $$x^2+\left(y+2\right)^2=2$$

   Значит, $$O(0;-2),\quad R=\sqrt{2}.$$

Для векторов $$\vec a=\{x;y\}$$ и $$\vec b=\{-y;x\}$$ проверим скалярное произведение:

$$\vec a\cdot \vec b=x\cdot(-y)+y\cdot x=-xy+xy=0.$$

Если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны. Следовательно, $$\vec a\perp \vec b.$$