Упр.1044 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: ан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство AM2 + СМ2 = ВМ2 + DM2. Вычислите скалярное произведение векторов а и b, если: а) а{1/4; -l}, b{2; 3}; б) а {-5; 6}, b {6; 5}; в) a {1,5; 2}, b{4;-0,5}.
Введём прямоугольную систему координат так, чтобы
$$A(0;0),\quad D(a;0),\quad B(0;c),\quad C(a;c),\quad M(x;y).$$
Тогда по формуле расстояния:
$$AM^2=(x-0)^2+(y-0)^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-a)^2+(y-c)^2,$$
$$BM^2=(x-0)^2+(y-c)^2=x^2+(y-c)^2,$$
$$DM^2=(x-a)^2+(y-0)^2=(x-a)^2+y^2.$$
Сложим попарно:
$$AM^2+CM^2=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-c)^2,$$
$$BM^2+DM^2=x^2+(y-c)^2+(x-a)^2+y^2.$$
Полученные выражения совпадают, значит
$$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2.$$
Теперь найдём скалярные произведения по формуле
$$\vec a\cdot \vec b=x_1x_2+y_1y_2.$$
а) $$\vec a=\left(\frac14;-1\right),\quad \vec b=(2;3).$$
$$\vec a\cdot \vec b=\frac14\cdot 2+(-1)\cdot 3=\frac12-3=-2{,}5.$$
б) $$\vec a=(-5;6),\quad \vec b=(6;5).$$
$$\vec a\cdot \vec b=(-5)\cdot 6+6\cdot 5=-30+30=0.$$
в) $$\vec a=(1{,}5;2),\quad \vec b=(4;-0{,}5).$$
$$\vec a\cdot \vec b=1{,}5\cdot 4+2\cdot(-0{,}5)=6-1=5.$$
Ответ
$$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2;$$
а) $$-2{,}5$$; б) $$0$$; в) $$5$$.
