Упр.1044 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан прямоугольник $$ABCD$$. Докажите, что для произвольной точки $$M$$ плоскости справедливо равенство $$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2$$.
2. Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec a$$ и $$\vec b$$, если:
   а) $$\vec a=\left(\frac{1}{4};-1\right)$$, $$\vec b=(2;3)$$;
   б) $$\vec a=(-5;6)$$, $$\vec b=(6;5)$$;
   в) $$\vec a=(1{,}5;2)$$, $$\vec b=(4;-0{,}5)$$.

Введём прямоугольную систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; D(a;0),\; B(0;c),\; C(a;c).$$ Пусть $$M(x;y)$$ — произвольная точка плоскости.

Тогда по формуле расстояния имеем:

$$AM^2=(x-0)^2+(y-0)^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(x-a)^2+(y-c)^2,$$
$$BM^2=(x-0)^2+(y-c)^2=x^2+(y-c)^2,$$
$$DM^2=(x-a)^2+(y-0)^2=(x-a)^2+y^2.$$

Сложим попарно:

$$AM^2+CM^2=x^2+y^2+(x-a)^2+(y-c)^2,$$
$$BM^2+DM^2=x^2+(y-c)^2+(x-a)^2+y^2.$$

Правая и левая части совпадают, значит

$$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2.$$

Ответ: $$AM^2+CM^2=BM^2+DM^2.$$