Упр.1040 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна $$160\text{ см}$$, а основание треугольника равно $$80\text{ см}$$. Найдите две другие медианы этого треугольника.
Диагонали ромба $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$, и диагональ $$BD$$ равна стороне ромба. Найдите угол между векторами: а) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$; б) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; в) $$\overrightarrow{BA}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$; г) $$\overrightarrow{OC}$$ и $$\overrightarrow{OD}$$; д) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{DA}$$; е) $$\overrightarrow{AB}$$ и $$\overrightarrow{CD}$$.

Подробный ответ

Пусть $$\triangle ABC$$ — равнобедренный, $$AC=80\text{ см}$$, а медиана $$BO$$ к основанию равна $$160\text{ см}$$.

Расположим треугольник в координатной плоскости так, чтобы

$$A(-40;0),\quad C(40;0),\quad B(0;160).$$

Так как $$CE$$ — медиана, то точка $$E$$ является серединой отрезка $$AB$$. Тогда

$$x_E=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{-40+0}{2}=-20,\qquad y_E=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{0+160}{2}=80.$$

Значит, $$E(-20;80)$$.

Так как $$AF$$ — медиана, то точка $$F$$ является серединой отрезка $$BC$$. Тогда

$$x_F=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{0+40}{2}=20,\qquad y_F=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{160+0}{2}=80.$$

Значит, $$F(20;80)$$.

Теперь найдём длины медиан:

$$CE=\sqrt{(-20-40)^2+(80-0)^2} =\sqrt{3600+6400} =\sqrt{10000}=100\text{ см},$$