Упр.1039 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей. Диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Найдите угол между векторами: а) АВ и АС; б) АВ и DA; в) ОА и ОВ; г) АО и ОВ; д) ОА и ОС; е) АС и BD; ж) AD и DB; з) АО и ОС.

Подробный ответ

Обозначим стороны параллелограмма векторами $$\vec{AB}=\vec{u}$$ и $$\vec{AD}=\vec{v}.$$ Тогда диагонали выражаются так:

$$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{AD}=\vec{u}+\vec{v},$$

$$\vec{BD}=\vec{AD}-\vec{AB}=\vec{v}-\vec{u}.$$

Найдём суммы квадратов:

$$ AB^2+BC^2+CD^2+AD^2 =|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2+|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2 =2\bigl(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\bigr). $$

С другой стороны,

$$ AC^2+BD^2=|\vec{u}+\vec{v}|^2+|\vec{v}-\vec{u}|^2. $$

Раскроем скобки по формуле скалярного произведения:

$$ |\vec{u}+\vec{v}|^2=|\vec{u}|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{v}|^2, $$
$$ |\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{v}|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+|\vec{u}|^2. $$

Складывая, получаем:

$$ AC^2+BD^2=2\bigl(|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2\bigr). $$