Упр.1038 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин. На горе находится башня, высота которой равна 100 м (рис. 299). Некоторый предмет А у подножия горы наблюдают сначала с вершины В башни под углом 60° к горизонту, а потом с её основания С под углом 30°. Найдите высоту Н горы.

Обозначим основание башни через $$C$$, её вершину — через $$B$$, а точку наблюдения у подножия горы — через $$A$$. Тогда $$BC=100$$ м, $$\angle DCA=30^\circ$$, $$\angle ABE=60^\circ$$, где $$D$$ — точка пересечения луча зрения из $$B$$ с горизонталью через $$C$$.

По свойству прямоугольного треугольника:

$$\angle CBD=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$

следовательно,

$$\angle BDC=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$

Так как смежные углы в сумме дают $$180^\circ$$, то

$$\angle CDA=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$DAC$$:

$$\angle DAC=180^\circ-(120^\circ+30^\circ)=30^\circ.$$

Значит, $$\angle DCA=\angle DAC=30^\circ$$, поэтому треугольник $$DAC$$ равнобедренный, и

$$CD=DA.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$CKA$$, где $$K$$ — основание перпендикуляра из $$C$$ на горизонталь через $$A$$. Тогда

$$\angle ACK=90^\circ-30^\circ=60^\circ,$$

откуда

$$\angle CAK=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

Следовательно, треугольник $$BCA$$ равнобедренный, и

$$BC=CA=100\text{ м}.$$

В прямоугольном треугольнике $$CKA$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, значит

$$CK=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 100=50\text{ м}.$$

Высота горы равна $$CK$$.

Ответ

$$50\text{ м}$$