Упр.1035 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ является прямоугольником, и найдите его площадь, если:
а) $$A(-3;-1),\ B(1;-1),\ C(1;-3),\ D(-3;-3)$$;
б) $$A(4;1),\ B(3;5),\ C(-1;4),\ D(0;0)$$.
В окружности проведены хорды $$AB$$ и $$CD$$, пересекающиеся в точке $$E$$. Найдите острый угол между этими хордами, если $$AB=13\text{ см}$$, $$CE=9\text{ см}$$, $$ED=4\text{ см}$$ и расстояние между точками $$B$$ и $$D$$ равно $$4\sqrt{3}\text{ см}$$.

Подробный ответ

Решение

а) Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

$$AB=\sqrt{(1-(-3))^2+(-1-(-1))^2}=\sqrt{4^2}=4,$$
$$BC=\sqrt{(1-1)^2+(-3-(-1))^2}=\sqrt{(-2)^2}=2,$$
$$CD=\sqrt{((-3)-1)^2+((-3)-(-3))^2}=\sqrt{(-4)^2}=4,$$
$$AD=\sqrt{((-3)-(-3))^2+((-3)-(-1))^2}=\sqrt{(-2)^2}=2.$$

Получили $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Найдём диагонали:

$$AC=\sqrt{(1-(-3))^2+((-3)-(-1))^2}=\sqrt{4^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5,$$
$$BD=\sqrt{((-3)-1)^2+((-3)-(-1))^2}=\sqrt{(-4)^2+(-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5.$$

В параллелограмме равенство диагоналей означает, что он является прямоугольником. Следовательно, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Площадь прямоугольника:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=4\cdot 2=8.$$

б) Найдём длины сторон:

$$AB=\sqrt{(3-4)^2+(5-1)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$BC=\sqrt{((-1)-3)^2+(4-5)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17},$$
$$CD=\sqrt{(0-(-1))^2+(0-4)^2}=\sqrt{1+16}=\sqrt{17},$$
$$AD=\sqrt{(0-4)^2+(0-1)^2}=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}.$$

Значит, $$AB=CD$$ и $$BC=AD$$, поэтому $$ABCD$$ — параллелограмм.

Найдём диагонали:

$$AC=\sqrt{((-1)-4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{25+9}=\sqrt{34},$$
$$BD=\sqrt{(0-3)^2+(0-5)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}.$$

Диагонали параллелограмма равны, значит, $$ABCD$$ — прямоугольник.

Тогда его площадь:

$$S_{ABCD}=AB\cdot BC=\sqrt{17}\cdot \sqrt{17}=17.$$