Упр.1033 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины треугольника имеют координаты: а) А (0; 1), В (1; -4), С (5; 2); б) А (-4; 1), В (-2; 4), С (0; 1). Докажите, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Докажем сначала, что треугольник равнобедренный, сравнив длины его сторон по формуле расстояния между точками.

а) $$AB=\sqrt{(1-0)^2+(-4-1)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}$$

$$BC=\sqrt{(5-1)^2+(2+4)^2}=\sqrt{16+36}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}$$

$$AC=\sqrt{(5-0)^2+(2-1)^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$$

Получаем $$AB=AC=\sqrt{26}$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Найдём площадь. Так как $$AB=AC$$, то медиана $$AM$$ к основанию $$BC$$ является высотой.

Координаты середины отрезка $$BC$$:

$$x_M=\frac{x_B+x_C}{2}=\frac{1+5}{2}=3,\qquad y_M=\frac{y_B+y_C}{2}=\frac{-4+2}{2}=-1$$

Значит, $$M(3;-1)$$.

Тогда

$$AM=\sqrt{(3-0)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{13}\cdot 2\sqrt{13}=13$$

б) $$AB=\sqrt{(-2+4)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

$$BC=\sqrt{(0+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$

$$AC=\sqrt{(0+4)^2+(1-1)^2}=\sqrt{16}=4$$

Получаем $$AB=BC=\sqrt{13}$$, значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Так как $$AB=BC$$, то медиана $$BM$$ к основанию $$AC$$ является высотой.

Координаты середины отрезка $$AC$$:

$$x_M=\frac{x_A+x_C}{2}=\frac{-4+0}{2}=-2,\qquad y_M=\frac{y_A+y_C}{2}=\frac{1+1}{2}=1$$

Значит, $$M(-2;1)$$.

Тогда

$$BM=\sqrt{(-2+2)^2+(1-4)^2}=\sqrt{9}=3$$

Площадь треугольника:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6$$

Докажем теперь, что для любого треугольника $$ABC$$ выполняется

$$\frac{a}{\sin A}=2R$$

где $$R$$ — радиус описанной окружности.

Пусть $$a=BC$$. Проведём диаметр $$BA_1$$ описанной окружности. Тогда по теореме Фалеса

$$\angle BA_1C=90^\circ$$

В прямоугольном треугольнике $$BA_1C$$ имеем

$$BC=BA_1\sin \angle A_1$$

Но углы $$A$$ и $$A_1$$ опираются на одну и ту же дугу $$BC$$, значит, $$\angle A=\angle A_1$$. Тогда

$$BC=BA_1\sin A$$

Так как $$BA_1=2R$$, получаем

$$BC=2R\sin A$$

Следовательно,

$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$

что и требовалось доказать.

Ответ

а) $$S_{ABC}=13$$; б) $$S_{ABC}=6$$; $$\dfrac{a}{\sin A}=2R$$.