Упр.1032 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите $$x$$, если: а) расстояние между точками $$A(2; 3)$$ и $$B(x; 1)$$ равно $$2$$; б) расстояние между точками $$M_1(-1; x)$$ и $$M_2(2x; 3)$$ равно $$7$$.
2. Две равные по величине силы приложены к одной точке под углом $$72^\circ$$ друг к другу. Найдите величины этих сил, если величина их равнодействующей равна $$120\ \text{кг}$$.

Пусть $$A(2;3)$$ и $$B(x;1)$$. Тогда по формуле расстояния между точками

$$AB=\sqrt{(x-2)^2+(1-3)^2}=2.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(x-2)^2+4=4,$$

$$(x-2)^2=0,$$

$$x=2.$$

Теперь рассмотрим точки $$M_1(-1;x)$$ и $$M_2(2x;3)$$. Тогда

$$M_1M_2=\sqrt{(2x-(-1))^2+(3-x)^2}=7,$$

то есть

$$\sqrt{(2x+1)^2+(3-x)^2}=7.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$(2x+1)^2+(3-x)^2=49,$$

$$4x^2+4x+1+9-6x+x^2=49,$$

$$5x^2-2x-39=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot(-39)=4+780=784,$$

$$x=\frac{2\pm \sqrt{784}}{10}=\frac{2\pm 28}{10}.$$

Получаем:

$$x_1=3,\qquad x_2=-\frac{26}{10}=-2{,}6.$$

Ответ: а) $$2$$; б) $$3$$ или $$-2{,}6$$.