Упр.1027 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите расстояние между точками А и В, если: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; -7); в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А (0; 3), В(-4;0). Найдите стороны треугольника ABC, если угол А=45° угол C = 30°, а высота AD равна 3 м.
а) Так как у точек одинаковая ордината, то отрезок $$AB$$ параллелен оси $$Ox$$, значит
$$AB=|x_B-x_A|=|-2-2|=4.$$
б) У точек одинаковая абсцисса, поэтому отрезок $$AB$$ параллелен оси $$Oy$$, и
$$AB=|y_B-y_A|=|-7-1|=8.$$
в) По формуле расстояния между точками:
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} =\sqrt{(0-(-3))^2+(4-0)^2} =\sqrt{3^2+4^2} =\sqrt{25}=5. $$
г) Аналогично:
$$ AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2} =\sqrt{(-4-0)^2+(0-3)^2} =\sqrt{16+9} =\sqrt{25}=5. $$
Ответ: а) $$4$$; б) $$8$$; в) $$5$$; г) $$5$$.
Для треугольника $$ABC$$ опустим высоту $$AD$$ на сторону $$CB$$. Тогда $$\triangle ACD$$ и $$\triangle ABD$$ — прямоугольные.
В прямоугольном треугольнике $$ACD$$:
$$\angle ACD=30^\circ,\qquad \angle CAD=90^\circ-30^\circ=60^\circ.$$
Тогда
$$ \sin 30^\circ=\frac{AD}{AC} \Rightarrow AC=\frac{AD}{\sin 30^\circ} =\frac{3}{1/2}=6\text{ м}. $$
В прямоугольном треугольнике $$ABD$$:
$$\angle BAD=45^\circ,\qquad \angle ABD=90^\circ-45^\circ=45^\circ,$$
значит $$\triangle ABD$$ равнобедренный прямоугольный, поэтому
$$BD=AD=3\text{ м}.$$
Тогда
$$ \tan 30^\circ=\frac{AD}{CD} \Rightarrow CD=\frac{AD}{\tan 30^\circ} =\frac{3}{1/\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\text{ м}. $$
Следовательно,
$$ BC=BD+CD=3+3\sqrt{3}\text{ м}. $$
Ответ: $$AC=6\text{ м},\; AB=3\sqrt{2}\text{ м},\; BC=3+3\sqrt{3}\text{ м}.$$
