Упр.1025 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите длины векторов: а) а {5; 9}; б) b {-3; 4}; в) с {-10; -10}; г) d {10; 17}; д) е {11; -11}; е) f {10; 0}. С помощью теорем синусов и косинусов решите треугольник ABC, если: а) угол A = 60°, угол B = 40°, с =14; б) угол A = 30°, угол C= 75°, b = 4,5; г) угол B = 45°, угол C = 70°, a = 24,6; e) a = 6,3, b = 6,3, угол C = 54°; з) a = 14, 6 = 18, c = 20; в) угол A = 80°, a =16, b= 10; д) угол A = 60°, a = 10, b = 7; ж) 6 = 32, с = 45, угол A = 87°; и) a= 6, b = 7,3, с = 4,8.

Найдём длины векторов по формуле $$|\vec{u}|=\sqrt{x^2+y^2}.$$

а) $$|\vec a|=\sqrt{5^2+9^2}=\sqrt{25+81}=\sqrt{106};$$
б) $$|\vec b|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5;$$
в) $$|\vec c|=\sqrt{(-10)^2+(-10)^2}=\sqrt{100+100}=\sqrt{200}=10\sqrt2;$$
г) $$|\vec d|=\sqrt{10^2+17^2}=\sqrt{100+289}=\sqrt{389};$$
д) $$|\vec e|=\sqrt{11^2+(-11)^2}=\sqrt{121+121}=11\sqrt2;$$
е) $$|\vec f|=\sqrt{10^2+0^2}=10.$$

Решим треугольник $$ABC$$ по теоремам синусов и косинусов.

а) $$\angle A=60^\circ,\ \angle B=40^\circ,\ c=14.$$

$$\angle C=180^\circ-60^\circ-40^\circ=80^\circ.$$

По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin 60^\circ}=\frac{c}{\sin 80^\circ},\qquad \frac{b}{\sin 40^\circ}=\frac{c}{\sin 80^\circ}.$$
Отсюда
$$a=14\cdot\frac{\sin 60^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 12{,}31,$$
$$b=14\cdot\frac{\sin 40^\circ}{\sin 80^\circ}\approx 9{,}14.$$

б) $$\angle A=30^\circ,\ \angle C=75^\circ,\ b=4{,}5.$$

$$\angle B=180^\circ-30^\circ-75^\circ=75^\circ.$$
Так как $$\angle B=\angle C,$$ то треугольник равнобедренный, значит $$b=c=4{,}5.$$

По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin 75^\circ}=\frac{b}{\sin 30^\circ},$$
откуда
$$a=4{,}5\cdot\frac{\sin 75^\circ}{\sin 30^\circ}\approx 8{,}69.$$

в) $$\angle A=80^\circ,\ a=16,\ b=10.$$

По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B},$$
значит
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{10\sin 80^\circ}{16}\approx 0{,}6155.$$
Тогда
$$\angle B\approx 37^\circ59′.$$

$$\angle C=180^\circ-80^\circ-37^\circ59’\approx 62^\circ01′.$$

Теперь найдём $$c$$:
$$\frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A},$$
$$c=16\cdot\frac{\sin 62^\circ01′}{\sin 80^\circ}\approx 14{,}35.$$

г) $$\angle B=45^\circ,\ \angle C=70^\circ,\ a=24{,}6.$$

$$\angle A=180^\circ-45^\circ-70^\circ=65^\circ.$$

По теореме синусов:
$$b=24{,}6\cdot\frac{\sin 45^\circ}{\sin 65^\circ}\approx 19{,}19,$$
$$c=24{,}6\cdot\frac{\sin 70^\circ}{\sin 65^\circ}\approx 25{,}51.$$

д) $$\angle A=60^\circ,\ a=10,\ b=7.$$

По теореме синусов:
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B},$$
следовательно,
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{7\sin 60^\circ}{10}\approx 0{,}6062.$$
Отсюда
$$\angle B\approx 37^\circ19′.$$

$$\angle C=180^\circ-60^\circ-37^\circ19’\approx 82^\circ41′.$$

$$c=10\cdot\frac{\sin 82^\circ41′}{\sin 60^\circ}\approx 11{,}45.$$

е) $$\angle C=54^\circ,\ a=6{,}3,\ b=6{,}3.$$

Так как $$a=b,$$ то $$\angle A=\angle B.$$ Тогда
$$\angle A=\angle B=\frac{180^\circ-54^\circ}{2}=63^\circ.$$

По теореме косинусов:
$$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$
$$c^2=6{,}3^2+6{,}3^2-2\cdot 6{,}3\cdot 6{,}3\cos 54^\circ,$$
$$c\approx 5{,}72.$$

ж) $$b=32,\ c=45,\ \angle A=87^\circ.$$

По теореме косинусов:
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,$$
$$a^2=32^2+45^2-2\cdot 32\cdot 45\cos 87^\circ,$$
$$a\approx 53{,}84.$$

По теореме синусов:
$$\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A},$$
$$\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{32\sin 87^\circ}{53{,}84}\approx 0{,}5935,$$
откуда
$$\angle B\approx 36^\circ18′.$$

$$\angle C=180^\circ-87^\circ-36^\circ18’\approx 56^\circ42′.$$

з) $$a=14,\ b=18,\ c=20.$$

По теореме косинусов:
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{18^2+20^2-14^2}{2\cdot 18\cdot 20}=\frac{528}{720}\approx 0{,}7333,$$
$$\angle A\approx 42^\circ50′.$$

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{14^2+20^2-18^2}{2\cdot 14\cdot 20}=\frac{272}{560}\approx 0{,}4857,$$
$$\angle B\approx 60^\circ57′.$$

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B\approx 76^\circ13′.$$

и) $$a=6,\ b=7{,}3,\ c=4{,}8.$$

По теореме косинусов:
$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{7{,}3^2+4{,}8^2-6^2}{2\cdot 7{,}3\cdot 4{,}8}\approx 0{,}5755,$$
$$\angle A\approx 54^\circ52′.$$

$$\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{6^2+4{,}8^2-7{,}3^2}{2\cdot 6\cdot 4{,}8}\approx 0{,}0998,$$
$$\angle B\approx 84^\circ16′.$$

$$\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B\approx 40^\circ52′.$$

Ответ

$$|\vec a|=\sqrt{106},\ |\vec b|=5,\ |\vec c|=10\sqrt2,\ |\vec d|=\sqrt{389},\ |\vec e|=11\sqrt2,\ |\vec f|=10.$$

а) $$\angle C=80^\circ,\ a\approx 12{,}31,\ b\approx 9{,}14.$$
б) $$\angle B=75^\circ,\ a\approx 8{,}69,\ c=4{,}5.$$
в) $$\angle B\approx 37^\circ59′,\ \angle C\approx 62^\circ01′,\ c\approx 14{,}35.$$
г) $$\angle A=65^\circ,\ b\approx 19{,}19,\ c\approx 25{,}51.$$
д) $$\angle B\approx 37^\circ19′,\ \angle C\approx 82^\circ41′,\ c\approx 11{,}45.$$
е) $$\angle A=\angle B=63^\circ,\ c\approx 5{,}72.$$
ж) $$a\approx 53{,}84,\ \angle B\approx 36^\circ18′,\ \angle C\approx 56^\circ42′.$$
з) $$\angle A\approx 42^\circ50′,\ \angle B\approx 60^\circ57′,\ \angle C\approx 76^\circ13′.$$
и) $$\angle A\approx 54^\circ52′,\ \angle B\approx 84^\circ16′,\ \angle C\approx 40^\circ52′.$$