Упр.1023 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: решак Найдите площадь прямоугольника, диагональ которого равна 10 см, а угол между диагоналями равен 30°.

Подробный ответ

В прямоугольнике диагонали равны, значит

$$AC=BD=10\text{ см}.$$

Точка пересечения диагоналей делит их пополам, поэтому

$$AO=BO=CO=DO=5\text{ см}.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения диагоналей. Тогда угол между диагоналями равен $$\angle AOB=30^\circ$$, а вертикальный ему угол

$$\angle COD=30^\circ.$$

Смежный с ним угол

$$\angle BOC=180^\circ-30^\circ=150^\circ,$$

и аналогично $$\angle AOD=150^\circ.$$

Площадь прямоугольника равна сумме площадей четырёх треугольников:

$$ S_{ABCD}=S_{AOB}+S_{BOC}+S_{COD}+S_{AOD}. $$

Найдём площадь одного из них:

$$ S_{AOB}=\frac12\cdot AO\cdot BO\cdot \sin\angle AOB =\frac12\cdot 5\cdot 5\cdot \sin 30^\circ =\frac12\cdot 25\cdot \frac12 =\frac{25}{4}\text{ см}^2. $$

Так как все четыре треугольника равны по площади, то

$$ S_{ABCD}=4\cdot \frac{25}{4}=25\text{ см}^2. $$