Упр.1021 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты вектора АВ, зная координаты его начала и конца: а) А (2; 7), В (-2; 7); б) А (-5; 1), В (-5; 27); в) А (-3; 0), В (0; 4); г) А (0; 3), В (-4; 0). Докажите, что площадь параллелограмма равна произведению двух его смежных сторон на синус угла между ними.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм. Проведём диагональ $$BD$$. Тогда площадь параллелограмма равна сумме площадей треугольников $$ABD$$ и $$BCD$$:

$$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{BCD}.$$

По формуле площади треугольника через две стороны и синус угла между ними имеем:

$$S_{ABD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot \sin\angle A,$$

$$S_{BCD}=\frac12 BC\cdot CD\cdot \sin\angle C.$$

Так как $$ABCD$$ — параллелограмм, то

$$AB=CD,\quad BC=AD,\quad \angle A=\angle C.$$

Тогда

$$S_{BCD}=\frac12 AD\cdot AB\cdot \sin\angle A.$$

Подставим это в выражение для площади параллелограмма:

$$ S_{ABCD}=\frac12 AB\cdot AD\cdot \sin\angle A+\frac12 AD\cdot AB\cdot \sin\angle A $$