Упр.102 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 7 класс, Просвещение: Отрезки АС и BD точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что треугольникABC = треугольникCD А. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

Подробный ответ

Пусть точка пересечения отрезков $$AC$$ и $$BD$$ — это точка $$O$$. Тогда по условию $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.

Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них:

$$AO=OC$$;
$$BO=OD$$;
$$\angle AOB=\angle COD$$, так как это вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем:

$$AB=CD$$;
$$\angle BAO=\angle DCO$$.

Так как точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle BAO=\angle BAC$$ и $$\angle DCO=\angle DCA$$. Значит, $$\angle BAC=\angle DCA$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$. У них:

$$AB=CD$$;
$$AC$$ — общая сторона;
$$\angle BAC=\angle DCA$$.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Значит, соответствующие углы равны, поэтому биссектрисы треугольника можно построить с помощью транспортира и линейки обычным способом: провести биссектрисы всех трёх углов треугольника.