Упр.102 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Отрезки $$AC$$ и $$BD$$ точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что $$\triangle ABC = \triangle CDA$$.
- Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.
Пусть точка пересечения отрезков $$AC$$ и $$BD$$ — это $$O$$. Тогда по условию $$AO=OC$$ и $$BO=OD$$.
Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$.
Углы $$\angle AOB$$ и $$\angle COD$$ — вертикальные, значит, $$\angle AOB=\angle COD$$.
Следовательно, в треугольниках $$AOB$$ и $$COD$$:
$$AO=OC,$$
$$BO=OD,$$
$$\angle AOB=\angle COD.$$
Значит, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по двум сторонам и углу между ними.
Отсюда получаем:
$$AB=CD,$$
$$\angle BAO=\angle DCO.$$
Так как точки $$A, O, C$$ лежат на одной прямой, то $$\angle BAO=\angle BAC$$ и $$\angle DCO=\angle DCA$$. Поэтому
$$\angle BAC=\angle DCA.$$
Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$CDA$$ имеем:
$$AB=CD,$$
$$AC=CA,$$
$$\angle BAC=\angle DCA.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ
$$\triangle ABC \cong \triangle CDA.$$
