Упр.1009 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите координаты вектора а + b, если: а) а {3; 2}, b {2; 5}; б) а {3; -4}, b {1; 5}; в) а {-4; -2}, b {5; 3}; г) а {2; 7}, b {-3; -7}. Докажите, что медиану АА1 треугольника ABC можно вычислить по формуле АА1 =1/2 корень(2АС2 + 2АВ2 — ВС2). Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

1) Сложим координаты векторов покомпонентно:

$$ \vec a+\vec b=(x_a+x_b;\,y_a+y_b). $$

а) $$\vec a=\{3;2\},\ \vec b=\{2;5\}$$, тогда

$$ \vec a+\vec b=\{3+2;\,2+5\}=\{5;7\}. $$

б) $$\vec a=\{3;-4\},\ \vec b=\{1;5\}$$, тогда

$$ \vec a+\vec b=\{3+1;\,-4+5\}=\{4;1\}. $$

в) $$\vec a=\{-4;-2\},\ \vec b=\{5;3\}$$, тогда

$$ \vec a+\vec b=\{-4+5;\,-2+3\}=\{1;1\}. $$

г) $$\vec a=\{2;7\},\ \vec b=\{-3;-7\}$$, тогда

$$ \vec a+\vec b=\{2-3;\,7-7\}=\{-1;0\}. $$

2) Докажем формулу для медианы $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$.

Продлим медиану $$AA_1$$ за точку $$A_1$$ так, чтобы $$A_1A_2=A_1A$$. Тогда четырёхугольник $$CABA_2$$ — параллелограмм, поэтому

$$ A_2C=AB,\qquad A_2B=AC. $$

По теореме косинусов для треугольника $$AA_2C$$:

$$ AA_2^2=AC^2+A_2C^2-2\cdot AC\cdot A_2C\cos\angle ACA_2. $$

Но из свойств параллелограмма получаем равенство углов, и после преобразований удобно записать через стороны:

$$ AA_2^2=2AC^2+2AB^2-BC^2. $$

Так как $$AA_2=2AA_1$$, то

$$ 4AA_1^2=2AC^2+2AB^2-BC^2, $$

$$ AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}. $$

3) Докажем, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Пусть $$AN$$ и $$CM$$ — две равные медианы треугольника $$ABC$$. Тогда по полученной формуле:

$$ AN=\frac12\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}, $$

$$ CM=\frac12\sqrt{2BC^2+2AC^2-AB^2}. $$

Так как $$AN=CM$$, то

$$ \frac12\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2} = \frac12\sqrt{2BC^2+2AC^2-AB^2}. $$

Возведём в квадрат:

$$ 2AB^2+2AC^2-BC^2=2BC^2+2AC^2-AB^2. $$

Сокращая одинаковые слагаемые, получаем:

$$ 3AB^2=3BC^2, $$

$$ AB=BC. $$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

$$ \vec a+\vec b=\{5;7\},\ \{4;1\},\ \{1;1\},\ \{-1;0\}. $$

$$ AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}. $$

Если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.