Упр.1009 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Найдите координаты вектора $$\vec a+\vec b$$, если:
а) $$\vec a=(3; 2),\ \vec b=(2; 5)$$;
б) $$\vec a=(3; -4),\ \vec b=(1; 5)$$;
в) $$\vec a=(-4; -2),\ \vec b=(5; 3)$$;
г) $$\vec a=(2; 7),\ \vec b=(-3; -7)$$.
Докажите, что медиану $$AA_1$$ треугольника $$ABC$$ можно вычислить по формуле $$AA_1=\frac{1}{2}\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}$$. Используя эту формулу, докажите, что если две медианы треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Подробный ответ

Обозначим середину стороны $$BC$$ через $$A_1$$. Тогда $$AA_1$$ — медиана треугольника $$ABC$$.

Продлим медиану $$AA_1$$ за точку $$A_1$$ на отрезок $$A_1A_2$$ так, чтобы $$A_1A_2=AA_1$$. Тогда точка $$A_1$$ будет серединой диагонали $$AA_2$$.

Так как $$A_1$$ — середина и $$BC$$, и $$AA_2$$, то в четырёхугольнике $$CABA_2$$ диагонали $$BC$$ и $$AA_2$$ пересекаются и делятся пополам. Следовательно, $$CABA_2$$ — параллелограмм.

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна удвоенной сумме квадратов его сторон:

$$AA_2^2+CB^2=2\left(AC^2+AB^2\right).$$

Отсюда

$$AA_2^2=2AC^2+2AB^2-BC^2.$$

Но $$AA_2=2AA_1$$, значит

$$4AA_1^2=2AC^2+2AB^2-BC^2,$$

и поэтому

$$AA_1=\frac12\sqrt{2AC^2+2AB^2-BC^2}.$$

Это и требовалось доказать.

Теперь пусть две медианы треугольника равны. Докажем, что треугольник равнобедренный.

Пусть $$AN$$ и $$CM$$ — медианы треугольника $$ABC$$, причём $$AN=CM$$. По доказанной формуле:

$$AN=\frac12\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2},$$
$$CM=\frac12\sqrt{2BC^2+2AC^2-AB^2}.$$