Упр.1008 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Найдите числа х и у, удовлетворяющие условию: a) xi + yj = 5i-2j; б) -3i + yj = xi + 7j; в) xi + yj=-4i; г) xi + yj = 0. Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что для всех точек М величина (AM2 + СМ2) — (ВМ2 + DM2) имеет одно и то же значение.
Введём систему координат так, чтобы $$A(0;0),\; D(a;0),\; B(b;c),\; C(a+b;c),\; M(x;y).$$
Тогда по формуле расстояния получаем:
$$AM^2=x^2+y^2,$$
$$CM^2=(a+b-x)^2+(c-y)^2,$$
$$BM^2=(b-x)^2+(c-y)^2,$$
$$DM^2=(a-x)^2+y^2.$$
Рассмотрим разность:
$$ (AM^2+CM^2)-(BM^2+DM^2) $$
$$ = \bigl(x^2+y^2+(a+b-x)^2+(c-y)^2\bigr)-\bigl((b-x)^2+(c-y)^2+(a-x)^2+y^2\bigr). $$
Сократим одинаковые слагаемые:
$$ = x^2+(a+b-x)^2-(b-x)^2-(a-x)^2. $$
Раскроем скобки:
$$ = x^2+\bigl(a^2+b^2+x^2+2ab-2ax-2bx\bigr)-\bigl(b^2-2bx+x^2\bigr)-\bigl(a^2-2ax+x^2\bigr). $$
После сокращения остаётся:
$$ =2ab. $$
Полученное значение не зависит от положения точки $$M$$.
Ответ
$$\bigl(AM^2+CM^2\bigr)-\bigl(BM^2+DM^2\bigr)=2ab,$$ то есть величина постоянна и не зависит от точки $$M$$.
