Упр.1007 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Запишите разложение по координатным векторам $$i$$ и $$j$$ вектора: а) $$x\{-3;\frac{1}{5}\}$$; б) $$y\{-2;-3\}$$; в) $$z\{-1;0\}$$; г) $$u\{0;3\}$$; д) $$v\{0;1\}$$.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований.

Подробный ответ

Пусть $$ABCD$$ — трапеция, $$AD \parallel BC$$, $$M$$ и $$N$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.

Рассмотрим вектор $$\overrightarrow{MN}$$ по правилу многоугольника:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}.$$

Так как $$M$$ — середина $$AC$$, а $$N$$ — середина $$BD$$, то

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\vec 0,\qquad \overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}=\vec 0.$$

Сложим два равенства для вектора $$\overrightarrow{MN}$$, записанные через диагонали:

$$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BN}.$$

Тогда

$$2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})+(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB})+(\overrightarrow{DN}+\overrightarrow{BN}).$$

Первые и последние скобки равны нулю, поэтому

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}.$$

Так как $$\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$$, получаем

$$2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC},$$

откуда

$$\overrightarrow{MN}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}\right).$$

Следовательно, отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности оснований:

$$MN=\frac12\left(AD-BC\right).$$