Упр.1003 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
- Векторы $$a$$ и $$b$$ не коллинеарны. Найдите числа $$x$$ и $$y$$, удовлетворяющие равенству:
а) $$3a-xb=ya+b$$;
б) $$4a-xa+5b+yb=0$$;
в) $$xa+3b-yb=0$$;
г) $$a+b-3ya+xb=0$$. - Вершины треугольника ABC имеют координаты $$A(-7; 5)$$, $$B(3; -1)$$, $$C(5; 3)$$. Составьте уравнения:
а) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника;
б) прямых AB, BC и CA;
в) прямых, на которых лежат средние линии треугольника.
Так как векторы $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то равенство векторов возможно только при равенстве коэффициентов при $$\vec a$$ и $$\vec b$$.
$$3\vec a-x\vec b=y\vec a+\vec b$$
Сравним коэффициенты при $$\vec a$$ и $$\vec b$$:
$$3=y,\qquad -x=1.$$
Отсюда $$y=3,\ x=-1.$$
$$4\vec a-x\vec a+5\vec b+y\vec b=0$$
Соберём подобные слагаемые:
$$\left(4-x\right)\vec a+\left(5+y\right)\vec b=0.$$
Так как $$\vec a$$ и $$\vec b$$ не коллинеарны, то
$$4-x=0,\qquad 5+y=0.$$
Следовательно, $$x=4,\ y=-5.$$
$$x\vec a+3\vec b-y\vec b=0$$
Имеем
$$x\vec a+\left(3-y\right)\vec b=0.$$
Тогда
$$x=0,\qquad 3-y=0.$$
Значит, $$x=0,\ y=3.$$
$$\vec a+\vec b-3y\vec a+x\vec b=0$$
Соберём коэффициенты при $$\vec a$$ и $$\vec b$$:
$$\left(1-3y\right)\vec a+\left(1+x\right)\vec b=0.$$
Следовательно,
$$1-3y=0,\qquad 1+x=0.$$
Отсюда $$y=\frac13,\ x=-1.$$
Ответ
а) $$x=-1,\ y=3$$; б) $$x=4,\ y=-5$$; в) $$x=0,\ y=3$$; г) $$x=-1,\ y=\frac13$$.
