Упр.1001 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Докажите, что если векторы а и b не коллинеарны, то: а) векторы а + b и а-b не коллинеарны; б) векторы 2а -b и а + b не коллинеарны; в) векторы а + b и а + 3b не коллинеарны. Напишите уравнение окружности, проходящей через точки А (3; 0) и B (-1; 2), если центр её лежит на прямой у = х + 2.

а) Докажем от противного. Пусть векторы $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ коллинеарны. Тогда существует число $$k$$ такое, что

$$\vec a+\vec b=k(\vec a-\vec b).$$

Раскроем скобки:

$$\vec a+\vec b=k\vec a-k\vec b,$$

$$\vec a-k\vec a=-\vec b-k\vec b,$$

$$\vec a(1-k)=\vec b(-1-k).$$

Если $$1-k\neq 0$$, то

$$\vec a=\frac{-1-k}{1-k}\vec b,$$

то есть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны. Это противоречит условию. Следовательно, $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ не коллинеарны.

б) Предположим, что $$2\vec a-\vec b$$ и $$\vec a+\vec b$$ коллинеарны. Тогда

$$2\vec a-\vec b=k(\vec a+\vec b).$$

После раскрытия скобок получаем:

$$2\vec a-\vec b=k\vec a+k\vec b,$$

$$\vec a(2-k)=\vec b(1+k).$$

Если $$2-k\neq 0$$, то

$$\vec a=\frac{1+k}{2-k}\vec b,$$

что снова означает коллинеарность $$\vec a$$ и $$\vec b$$. Противоречие. Значит, $$2\vec a-\vec b$$ и $$\vec a+\vec b$$ не коллинеарны.

в) Предположим, что $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a+3\vec b$$ коллинеарны. Тогда

$$\vec a+\vec b=k(\vec a+3\vec b).$$

Преобразуем:

$$\vec a+\vec b=k\vec a+3k\vec b,$$

$$\vec a(1-k)=\vec b(3k-1).$$

Если $$1-k\neq 0$$, то

$$\vec a=\frac{3k-1}{1-k}\vec b,$$

то есть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ коллинеарны, что невозможно по условию. Следовательно, $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a+3\vec b$$ не коллинеарны.

Теперь найдём уравнение окружности, проходящей через точки $$A(3;0)$$ и $$B(-1;2)$$, если её центр лежит на прямой $$y=x+2$$.

Пусть центр окружности имеет координаты $$O(x;y)$$. Тогда

$$OA=OB.$$

Запишем равенство квадратов расстояний:

$$ (3-x)^2+(0-y)^2=(-1-x)^2+(2-y)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ 9-6x+x^2+y^2=1+2x+x^2+4-4y+y^2, $$

$$ 9-6x=2x-4y+5, $$

$$ 8x-4y-4=0, $$

$$ 2x-y-1=0. $$

Так как центр лежит на прямой $$y=x+2$$, решаем систему:

$$ \begin{cases} 2x-y-1=0,\\ y=x+2. \end{cases} $$

Подставим $$y=x+2$$:

$$ 2x-(x+2)-1=0, $$

$$ x=3,\quad y=5. $$

Значит, центр окружности $$O(3;5)$$. Найдём радиус:

$$ R=OA=\sqrt{(3-3)^2+(0-5)^2}=5. $$

Тогда уравнение окружности:

$$ (x-3)^2+(y-5)^2=25. $$

Ответ

$$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a-\vec b$$ не коллинеарны; $$2\vec a-\vec b$$ и $$\vec a+\vec b$$ не коллинеарны; $$\vec a+\vec b$$ и $$\vec a+3\vec b$$ не коллинеарны.
Уравнение окружности: $$ (x-3)^2+(y-5)^2=25 $$.