Упр.1000 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов 9 класс, Просвещение: Векторы а и b коллинеарны. Коллинеарны ли векторы: а) а + 3b и а; б) b-2а и а? Ответ обоснуйте. Выясните, какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найдите координаты центра и радиус каждой окружности: а) (x — 1)2 + (y + 2)2 = 25; б) х2 + (у + 7)2 = 1; в) х2 + у2 + 8х — 4у + 40 = 0; г) х2 + у2 — 2х + 4у — 20 = 0; д) х2 + у2-4х-2у + 1 =0.
Пусть $$\vec a$$ и $$\vec b$$ — коллинеарные векторы. Тогда любой вектор, полученный как их линейная комбинация, тоже коллинеарен им, если коэффициенты при этих векторах не нарушают направление одной прямой.
а) $$\vec a+3\vec b$$ и $$\vec a$$ — коллинеарны, так как $$3\vec b$$ коллинеарен $$\vec a$$, а сумма коллинеарных векторов является коллинеарным вектором.
б) $$\vec b-2\vec a=\vec b+(-2\vec a)$$ и $$\vec a$$ — коллинеарны, так как $$\vec b$$ и $$-2\vec a$$ коллинеарны $$\vec a$$, а сумма коллинеарных векторов снова коллинеарна им.
Теперь приведём уравнения к виду $$\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2=R^2$$.
а) $$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25$$ — уравнение окружности, центр $$\left(1;\,-2\right)$$, радиус $$R=5$$.
б) $$x^2+\left(y+7\right)^2=1$$ — уравнение окружности, центр $$\left(0;\,-7\right)$$, радиус $$R=1$$.
в) $$x^2+y^2+8x-4y+40=0$$
$$x^2+8x+y^2-4y=-40$$
$$\left(x+4\right)^2+\left(y-2\right)^2=-20$$
Правая часть отрицательна, значит это не уравнение окружности.
г) $$x^2+y^2-2x+4y-20=0$$
$$x^2-2x+y^2+4y=20$$
$$\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25$$
Это окружность с центром $$\left(1;\,-2\right)$$ и радиусом $$R=5$$.
д) $$x^2+y^2-4x-2y+1=0$$
$$x^2-4x+y^2-2y=-1$$
$$\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=4$$
Это окружность с центром $$\left(2;\,1\right)$$ и радиусом $$R=2$$.
Ответ: векторы в пунктах а) и б) коллинеарны; окружности задают уравнения а), б), г), д). Для них: а) центр $$\left(1;\,-2\right)$$, $$R=5$$; б) центр $$\left(0;\,-7\right)$$, $$R=1$$; г) центр $$\left(1;\,-2\right)$$, $$R=5$$; д) центр $$\left(2;\,1\right)$$, $$R=2$$. Уравнение в) не является уравнением окружности.
