Вопрос 9 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Дайте определения синуса, тангенса и котангенса острого угла.
2. Доказать: синус, тангенс и котангенс угла зависят только от величины угла.

1) Синусом острого угла $$\alpha$$ называется отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$$\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.$$

2) Тангенсом острого угла $$\alpha$$ называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету:

$$\tg \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.$$

3) Котангенсом острого угла $$\alpha$$ называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету:

$$\ctg \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}.$$

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ и $$\angle A=\alpha$$. Тогда по теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}.$$

По определениям тригонометрических функций:

$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}, \qquad \cos \alpha=\frac{AC}{AB}.$$

Тогда

$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{AB} =\sqrt{1-\left(\frac{AC}{AB}\right)^2} =\sqrt{1-\cos^2 \alpha}.$$

Так как $$\cos \alpha$$ зависит только от величины угла, то и $$\sin \alpha$$ зависит только от величины угла.

Далее, по определениям:

$$\tg \alpha=\frac{BC}{AC}, \qquad \ctg \alpha=\frac{AC}{BC}.$$

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $$AB$$:

$$\tg \alpha=\frac{BC/AB}{AC/AB}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \ctg \alpha=\frac{AC/AB}{BC/AB}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}.$$

Значит, $$\tg \alpha$$ и $$\ctg \alpha$$ также зависят только от величины угла. Что и требовалось доказать.