Упр.12.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 9 класс, Просвещение: 9. Найдите медианы треугольника в задаче 1.

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=5\text{ м}$$, $$BC=6\text{ м}$$, $$AC=7\text{ м}$$.

Проведём медианы $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. Тогда точки $$A_1$$, $$B_1$$, $$C_1$$ — середины сторон $$BC$$, $$AC$$ и $$AB$$ соответственно, поэтому

$$BA_1=\frac{BC}{2}=3\text{ м},\qquad CB_1=\frac{AC}{2}=\frac{7}{2}\text{ м},\qquad AC_1=\frac{AB}{2}=\frac{5}{2}\text{ м}.$$

По теореме косинусов найдём косинусы углов треугольника:

$$\cos \angle A=\frac{19}{35},\qquad \cos \angle B=\frac{1}{5},\qquad \cos \angle C=\frac{5}{7}.$$

Теперь вычислим длины медиан.

1) В треугольнике $$ACC_1$$ по теореме косинусов:

$$ CC_1^2=AC^2+AC_1^2-2\cdot AC\cdot AC_1\cdot \cos \angle A $$

$$ CC_1^2=7^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\cdot 7\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{19}{35} =49+\frac{25}{4}-19=\frac{145}{4}. $$

Следовательно,

$$CC_1=\sqrt{\frac{145}{4}}=\frac{\sqrt{145}}{2}\text{ м}.$$

2) В треугольнике $$BAA_1$$:

$$ AA_1^2=AB^2+BA_1^2-2\cdot AB\cdot BA_1\cdot \cos \angle B $$

$$ AA_1^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{1}{5}=25+9-6=28. $$

Значит,

$$AA_1=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{ м}.$$

3) В треугольнике $$CBB_1$$:

$$ BB_1^2=BC^2+CB_1^2-2\cdot BC\cdot CB_1\cdot \cos \angle C $$

$$ BB_1^2=6^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{7} =36+\frac{49}{4}-30=\frac{73}{4}. $$

Следовательно,

$$BB_1=\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}\text{ м}.$$

Ответ

$$CC_1=\frac{\sqrt{145}}{2}\text{ м},\quad AA_1=2\sqrt{7}\text{ м},\quad BB_1=\frac{\sqrt{73}}{2}\text{ м}.$$