Вопрос 9 Параграф 6 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что у параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Пусть $$ABCD$$ — данный параллелограмм. Проведём его диагонали $$AC$$ и $$BD$$, пусть они пересекаются в точке $$O$$. Тогда по теореме о диагоналях параллелограмма
$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$
Рассмотрим треугольники $$AOB$$ и $$COD$$. У них
$$AO=OC,\qquad BO=OD,\qquad \angle AOB=\angle COD$$
как вертикальные углы. Значит, $$\triangle AOB \cong \triangle COD$$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда
$$AB=CD.$$
Аналогично, треугольники $$BOC$$ и $$AOD$$ равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
$$BC=AD.$$
Теперь рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$CDA$$. У них
$$AB=CD,\qquad BC=AD,\qquad AC=CA.$$
Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle CDA$$ по трём сторонам, откуда
$$\angle ABC=\angle CDA.$$
Аналогично из равенства треугольников $$ABD$$ и $$CBD$$ получаем
$$\angle BAD=\angle BCD.$$
Итак, у параллелограмма противолежащие стороны равны, а противолежащие углы равны.
