Вопрос 9 Параграф 9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: преобразование симметрии относительно точки является
движением;
Доказательство:
1) Пусть X и Y-две произвольные точки фигуры F;
2) Преобразование симметрии относительно точки O переводит их в
точки X’ и Y’ фигуры F’;
3) Из определения симметрии относительно точки следует, что:
OX’=OX и OY’=OY;
4) угол XOY = углу X’ OY’ (как вертикальные), значит треугольник XOY=треугольник X’ OY’ по первому признаку, отсюда XY=X’ Y’;
5) Так как расстояния между двумя произвольными точками фигур
равны, то симметрия относительно точки O есть движение, что и
требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть точки $$X$$ и $$Y$$ при симметрии относительно точки $$O$$ переходят в точки $$X’$$ и $$Y’$$ соответственно.

По определению центральной симметрии точка $$O$$ является серединой отрезков $$XX’$$ и $$YY’$$, значит

$$OX=OX’, \qquad OY=OY’.$$

Углы $$\angle XOY$$ и $$\angle X’OY’$$ равны как вертикальные. Тогда треугольники $$XOY$$ и $$X’OY’$$ равны по двум сторонам и углу между ними:

$$OX=OX’, \qquad OY=OY’, \qquad \angle XOY=\angle X’OY’.$$

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны:

$$XY=X’Y’.$$

Значит, расстояние между любыми двумя точками фигуры при симметрии относительно точки сохраняется. Следовательно, симметрия относительно точки является движением.