Вопрос 9 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

I)
1) Синусом угла a называется отношение противолежащего катета к
гипотенузе;
2) Тангенсом угла a называется отношение противолежащего катета к
прилежащему катету;
3) Котангенсом угла a называется отношение прилежащего катета к
противолежащему катету;
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: синус, тангенс и котангенс угла, зависят только от величины
угла;
Доказательство:
1) Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C и
углом A, равным a;
2) Согласно теореме Пифагора: BC=v(AB^2-AC^2);
3) По определению: sina=BC/AB и cosa=AC/AB;
sina=BC/AB=v(AB^2-AC^2)/AB=v(1-(AC/AB)^2)=v(1-cos^2?a);
4) Так как cosa зависит только от величины угла (доказано ранее), то и
sina зависит только от величины угла;
5) По определению: tg a=BC/AC и ctg a=AC/BC;
6) Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на AB:
tg a=BC/AB :AC/AB=sina/cosa и ctg a=AC/AB :BC/AB=cosa/sina ;
7) Значит, tg a и ctg a также зависят только от величины угла, что и
требовалось доказать.

I) Синусом острого угла называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету.

II) Докажем, что синус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины угла.

Пусть дан прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$C$$ и $$\angle A=\alpha$$.

По теореме Пифагора:

$$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}.$$

По определению синуса и косинуса:

$$\sin \alpha=\frac{BC}{AB}, \qquad \cos \alpha=\frac{AC}{AB}.$$

Тогда

$$ \sin \alpha=\frac{\sqrt{AB^2-AC^2}}{AB} =\sqrt{1-\left(\frac{AC}{AB}\right)^2} =\sqrt{1-\cos^2 \alpha}. $$

Так как $$\cos \alpha$$ зависит только от величины угла, то и $$\sin \alpha$$ зависит только от величины угла.

По определению:

$$\tg \alpha=\frac{BC}{AC}, \qquad \ctg \alpha=\frac{AC}{BC}.$$

Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на $$AB$$:

$$ \tg \alpha=\frac{BC/AB}{AC/AB}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \qquad \ctg \alpha=\frac{AC/AB}{BC/AB}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}. $$

Следовательно, $$\tg \alpha$$ и $$\ctg \alpha$$ также зависят только от величины угла.

Ответ

$$\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \quad \tg \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}, \quad \ctg \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}.$$
Синус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.