Вопрос 9 Параграф 5 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
Доказать: центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой
пересечения его биссектрис;
Доказательство:
1) Пусть ABC-данный треугольник, точка O-центр вписанной в
него окружности, а точки D, E и F-точки касания окружностей со
сторонами;
2) Так как касательные перпендикулярны радиусу.проведенному к
точке касания, то угол AEO = углу BDO = углу CFO=90°;
3) Прямоугольные треугольники AOD и AOE равны по гипотенузе и
катету (AO-общая гипотенуза и OD=OE как радиусы), отсюда
угол OAD = углу OAE, то есть точка O лежит на биссектрисе угла CAB;
4) Аналогично доказывается, что точка O лежит на биссектрисах углов
угол ACB и угол CBA, то есть она является точкой пересечения биссектрис
треугольника ABC, что и требовалось доказать.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, $$O$$ — центр вписанной в него окружности, а $$D, E, F$$ — точки касания окружности со сторонами треугольника.
Так как радиус, проведённый к точке касания, перпендикулярен касательной, то
$$\angle AEO=\angle BDO=\angle CFO=90^\circ.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AOD$$ и $$AOE$$. У них:
- $$AO$$ — общая гипотенуза;
- $$OD=OE$$ как радиусы одной окружности.
Следовательно, $$\triangle AOD \cong \triangle AOE$$ по гипотенузе и катету. Отсюда
$$\angle OAD=\angle OAE.$$
Значит, прямая $$AO$$ делит угол $$CAB$$ пополам, то есть точка $$O$$ лежит на биссектрисе угла $$A$$.
Аналогично доказывается, что $$O$$ лежит на биссектрисах углов $$ACB$$ и $$CBA$$.
Следовательно, точка $$O$$ является точкой пересечения биссектрис треугольника $$ABC$$.
Ответ
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
