Упр.12.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Найдите медианы треугольника.
Пусть $$ABC$$ — данный треугольник, где $$AB=5\text{ м},\ BC=6\text{ м},\ AC=7\text{ м}.$$ Проведём медианы $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1.$$
Из задачи 1 известны косинусы углов треугольника:
$$\cos \angle A=\frac{19}{35},\qquad \cos \angle B=\frac{1}{5},\qquad \cos \angle C=\frac{5}{7}.$$
Так как $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ — середины сторон, то
$$AC_1=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}\text{ м},\qquad BA_1=\frac{1}{2}BC=3\text{ м},\qquad CB_1=\frac{1}{2}AC=\frac{7}{2}\text{ м}.$$
Найдём длины медиан по теореме косинусов.
1) В треугольнике $$ACC_1$$:
$$CC_1^2=AC^2+AC_1^2-2\cdot AC\cdot AC_1\cdot \cos \angle A$$
$$CC_1^2=7^2+\left(\frac{5}{2}\right)^2-2\cdot 7\cdot \frac{5}{2}\cdot \frac{19}{35} =49+\frac{25}{4}-19=\frac{145}{4}.$$
Следовательно,
$$CC_1=\sqrt{\frac{145}{4}}=\frac{\sqrt{145}}{2}\text{ м}.$$
2) В треугольнике $$BAA_1$$:
$$AA_1^2=AB^2+BA_1^2-2\cdot AB\cdot BA_1\cdot \cos \angle B$$
$$AA_1^2=5^2+3^2-2\cdot 5\cdot 3\cdot \frac{1}{5}=25+9-6=28.$$
Значит,
$$AA_1=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{ м}.$$
3) В треугольнике $$CBB_1$$:
$$BB_1^2=BC^2+CB_1^2-2\cdot BC\cdot CB_1\cdot \cos \angle C$$
$$BB_1^2=6^2+\left(\frac{7}{2}\right)^2-2\cdot 6\cdot \frac{7}{2}\cdot \frac{5}{7} =36+\frac{49}{4}-30=\frac{73}{4}.$$
Следовательно,
$$BB_1=\sqrt{\frac{73}{4}}=\frac{\sqrt{73}}{2}\text{ м}.$$
Ответ: $$CC_1=\frac{\sqrt{145}}{2}\text{ м},\ AA_1=2\sqrt{7}\text{ м},\ BB_1=\frac{\sqrt{73}}{2}\text{ м}.$$
