Вопрос 9 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Сформулируйте и докажите признак подобия треугольников по трём сторонам.

Если стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Докажем это.

Пусть для треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$AB=k\cdot A_1B_1,\quad AC=k\cdot A_1C_1,\quad BC=k\cdot B_1C_1.$$

Построим треугольник $$A_2B_2C_2$$, подобный треугольнику $$A_1B_1C_1$$ с коэффициентом подобия $$k$$. Тогда

$$A_2B_2=k\cdot A_1B_1=AB,\quad A_2C_2=k\cdot A_1C_1=AC,\quad B_2C_2=k\cdot B_1C_1=BC.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_2B_2C_2$$ равны по трём сторонам.

Но треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ подобны по построению. Значит, треугольник $$ABC$$ подобен треугольнику $$A_1B_1C_1$$.

Итак, если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, то такие треугольники подобны. Что и требовалось доказать.