Вопрос 9 Параграф 10 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что равные векторы имеют соответственно равные координаты, а векторы с соответственно равными координатами равны.

Пусть вектор $$\vec a$$ задан точками $$A_1(x_1;y_1)$$ и $$A_2(x_2;y_2)$$, то есть $$\vec a=\overrightarrow{A_1A_2}$$. Тогда его координаты равны

$$\vec a=(x_2-x_1;\,y_2-y_1).$$

Если вектор $$\vec a’$$ равен вектору $$\vec a$$, то он получается из него параллельным переносом. При этом координаты обеих точек изменяются на одни и те же числа: пусть

$$A_1′(x_1+c;\,y_1+d), \qquad A_2′(x_2+c;\,y_2+d).$$

Тогда координаты вектора $$\vec a’=\overrightarrow{A_1’A_2′}$$ равны

$$\begin{aligned} \vec a’&=(x_2+c-(x_1+c);\;y_2+d-(y_1+d))\\ &=(x_2-x_1;\;y_2-y_1). \end{aligned}$$

Значит, равные векторы имеют соответственно равные координаты.

Обратно, пусть для векторов $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1’A_2′}$$ соответствующие координаты равны:

$$x_2-x_1=x_2′-x_1′, \qquad y_2-y_1=y_2′-y_1′.$$

Тогда

$$x_2’=x_2+x_1′-x_1, \qquad y_2’=y_2+y_1′-y_1.$$

Параллельный перенос, заданный формулами

$$x’=x+x_1′-x_1, \qquad y’=y+y_1′-y_1,$$

переводит точку $$A_1$$ в точку $$A_1’$$ и точку $$A_2$$ в точку $$A_2’$$. Следовательно, векторы $$\overrightarrow{A_1A_2}$$ и $$\overrightarrow{A_1’A_2′}$$ равны.