Упр.9.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что четырёхугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.

Пусть у четырёхугольника $$ABCD$$ точка $$O$$ — центр симметрии.

При центральной симметрии каждая вершина фигуры переходит в другую вершину, а точка симметрии является серединой отрезка, соединяющего соответствующие точки. Значит, вершина $$A$$ переходит в некоторую вершину четырёхугольника, и аналогично для остальных вершин.

Так как вершины четырёхугольника не лежат на одной прямой, ни одна из его вершин не может совпадать с центром симметрии. Следовательно, вершины попарно переходят друг в друга. Обозначим, что $$A$$ переходит в $$C$$, а $$B$$ — в $$D$$.

Тогда по определению центральной симметрии точка $$O$$ является серединой отрезков $$AC$$ и $$BD$$, то есть

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Значит, диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся точкой $$O$$ пополам. А если диагонали четырёхугольника взаимно делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Следовательно, четырёхугольник, у которого есть центр симметрии, является параллелограммом.