Упр.4.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными и секущей, параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.

Пусть прямые $$AB$$ и $$CD$$ параллельны, а $$BD$$ — секущая. Тогда внутренние накрест лежащие углы $$\angle ABD$$ и $$\angle BDC$$ равны.

Проведём биссектрисы $$BE$$ и $$DF$$ этих углов. Тогда

$$\angle EBD=\frac{1}{2}\angle ABD,\qquad \angle BDF=\frac{1}{2}\angle BDC.$$

Так как $$\angle ABD=\angle BDC$$, то

$$\angle EBD=\angle BDF.$$

Углы $$\angle EBD$$ и $$\angle BDF$$ — внутренние накрест лежащие при пересечении прямых $$BE$$ и $$DF$$ секущей $$BD$$. Следовательно, $$BE \parallel DF$$.

Значит, биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и секущей, параллельны.