Упр.4.9 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Доказать: биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образо-
ванных параллельными прямыми и секущей, параллельны, то есть
лежат на параллельных прямых;
Доказательство:
1) Пусть прямые AB и CD параллельны и прямая BD-секущая;
2) Согласно следствию из теоремы 4.2, внутренние накрест лежащие
углы AB D и BDC равны;
3) Проведем биссектрисы BE и DF данных углов, тогда:
угол EBD=1/2 угол ABD=1/2 угол BDC = углу BDF;
4) Так как внутренние накрест лежащие углы, образованные при
пересечении прямых BE и DF с секущей BD, равны, то прямые
BE и DF-параллельны, что и требовалось доказать.

Пусть $$AB \parallel CD$$, а $$BD$$ — секущая. Тогда внутренние накрест лежащие углы $$\angle ABD$$ и $$\angle BDC$$ равны.

Проведём биссектрисы $$BE$$ и $$DF$$ этих углов. Тогда

$$\angle EBD=\frac{1}{2}\angle ABD,\qquad \angle BDF=\frac{1}{2}\angle BDC.$$

Так как $$\angle ABD=\angle BDC$$, то

$$\angle EBD=\angle BDF.$$

Углы $$\angle EBD$$ и $$\angle BDF$$ — внутренние накрест лежащие при пересечении прямых $$BE$$ и $$DF$$ секущей $$BD$$. Следовательно, $$BE \parallel DF$$.

Значит, биссектрисы внутренних накрест лежащих углов, образованных параллельными прямыми и секущей, параллельны.