Упр.3.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Чтобы измерить на местности расстояние между двумя точками $$A$$ и $$B$$, из которых одна (точка $$A$$) недоступна, провешивают направление отрезка $$AB$$ (рис. 61) и на его продолжении отмеряют произвольный отрезок $$BE$$. Выбирают на местности точку $$D$$, из которой видна точка $$A$$ и можно пройти к точкам $$B$$ и $$E$$. Провешивают прямые $$BDQ$$ и $$EDF$$ и отмеряют $$FD = DE$$ и $$DQ = BD$$. Затем идут по прямой $$FQ$$, глядя на точку $$A$$, пока не найдут точку $$H$$, которая лежит на прямой $$AD$$. Тогда $$HQ$$ равно искомому расстоянию. Докажите.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$BDE$$ и $$FDQ$$.

1) $$\angle BDE=\angle FDQ$$ как вертикальные.

2) По условию $$FD=DE$$ и $$DQ=BD$$, значит, треугольники $$BDE$$ и $$FDQ$$ равны по первому признаку.

Отсюда $$\angle DBE=\angle DQF$$.

3) Тогда

$$\angle ABD=180^\circ-\angle DBE,$$

$$\angle DQH=180^\circ-\angle DQF.$$

Так как $$\angle DBE=\angle DQF$$, то $$\angle ABD=\angle DQH$$.

4) Углы $$ADB$$ и $$QDH$$ равны как вертикальные.

5) В треугольниках $$ABD$$ и $$QDH$$ равны два угла и заключённая между ними сторона $$BD=DQ$$, значит, эти треугольники равны по второму признаку.

Следовательно, соответствующие стороны равны: $$AB=HQ$$.