Упр.15.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: если четыре прямые, проходящие через точку A, пересекают
плоскость Альфа в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую
плоскость, параллельную Альфа и не проходящую через точку A, также в
вершинах параллелограмма;
Доказательство:
1) Пусть данные прямые пересекают плоскость Альфа в точках K1,K2,K3,K4,
а параллельную ей плоскость Бетта в точках M1,M2,M3,M4;
2) Прямые K1 M1 и K2 M2 пересекаются в точке A, значит через них можно
провести плоскость Гамма;
3) Плоскость Гамма пересекает параллельные плоскости Альфа и Бетта по прямым
K1 K2 и M1 M2,значит эти прямые параллельны: K1 K2||M1 M2;
4) Аналогично доказывается параллельность прямых:
K2 K3||M2 M3,K3 K4||M3 M4 и K1 K4||M1 M4;
5) По условию K1 K2 K3 K4-параллелограмм, значит:
K1 K2||K3 K4 и K2 K3||K1 K4;
6) M1 M2||K1 K2 и K1 K2||K3 K4,значит M1 M2||K3 K4;
7) M3 M4||K3 K4 и M1 M2||K3 K4,значит M1 M2||M3 M4;
8) Аналогично M2 M3||K2 K3,K2 K3||K1 K4 и K1 K4||M1 M4,значит:
M2 M3||M1 M4;
9) Таким образом, четырехугольник M1 M2 M3 M4 является параллелограммом по определению, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Пусть данные прямые пересекают плоскость $$\alpha$$ в точках $$K_1, K_2, K_3, K_4$$, а параллельную ей плоскость $$\beta$$ — в точках $$M_1, M_2, M_3, M_4$$.

Прямые $$K_1M_1$$ и $$K_2M_2$$ пересекаются в точке $$A$$, значит, через них можно провести плоскость $$\gamma$$.

Плоскость $$\gamma$$ пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$K_1K_2$$ и $$M_1M_2$$, следовательно,

$$K_1K_2 \parallel M_1M_2.$$

Аналогично получаем:

$$K_2K_3 \parallel M_2M_3,\qquad K_3K_4 \parallel M_3M_4,\qquad K_1K_4 \parallel M_1M_4.$$

По условию $$K_1K_2K_3K_4$$ — параллелограмм, значит

$$K_1K_2 \parallel K_3K_4,\qquad K_2K_3 \parallel K_1K_4.$$

Так как $$M_1M_2 \parallel K_1K_2$$ и $$K_1K_2 \parallel K_3K_4$$, то

$$M_1M_2 \parallel K_3K_4.$$

Кроме того, $$M_3M_4 \parallel K_3K_4$$, значит

$$M_1M_2 \parallel M_3M_4.$$

Аналогично, из $$M_2M_3 \parallel K_2K_3$$, $$K_2K_3 \parallel K_1K_4$$ и $$K_1K_4 \parallel M_1M_4$$ получаем