Упр.5.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Может ли окружность касаться прямой в двух точках? Объясните ответ.
Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.

Подробный ответ

1) Предположим, что окружность с центром в точке $$O$$ касается прямой в двух точках $$A$$ и $$B$$. Тогда радиусы $$OA$$ и $$OB$$ перпендикулярны этой прямой, то есть

$$\angle OAB=90^\circ,\qquad \angle OBA=90^\circ.$$

Но в треугольнике $$OAB$$ сумма углов не может быть равна $$180^\circ$$ при наличии двух прямых углов. Получаем противоречие. Значит, окружность не может касаться прямой в двух точках.

Ответ: не может.

2) Докажем, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания.

Пусть прямая $$a$$ касается окружности в точке $$A$$. Предположим противное: кроме точки $$A$$, прямая $$a$$ имеет с окружностью ещё одну общую точку $$B$$, $$B\ne A$$.

Тогда $$OA=OB$$ как радиусы одной окружности, значит треугольник $$AOB$$ равнобедренный. Следовательно, его углы при основании равны:

$$\angle OAB=\angle OBA.$$

Но касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, поэтому

$$\angle OAB=90^\circ.$$

Тогда и $$\angle OBA=90^\circ$$, что невозможно для треугольника. Противоречие показывает, что кроме точки касания общих точек у касательной и окружности нет.

Следовательно, касательная к окружности имеет с ней только одну общую точку — точку касания.