Упр.11.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Дано: угол и точка A, лежащая внутри него;
Построить: окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через
точку A;
Построение:
1) Пусть даны угол O и точка A.
2) Построим биссектрису OF угла O;
3) Из точки F опустим перендикуляр FB на одну из сторон угла O;
4) Проведем окружность с центром в точке F и радиусом равным FB1,
эта окружность касается обеих сторон угла, так как точка F лежит на
биссектрисе OF, которая равноудалена от его сторон;
5) Проведем луч OA и отметим точку H на одном из пересечений этого
луча и окружности.
6) Через точку A проведем прямую, параллельную прямой HF и отметим
точку F1 на пересечении этой прямой и биссектрисы OF;
7) Проведем окружность с центром в точке F1 и радиусом равным F1 A,
эта окружность является искомой

Подробный ответ

Пусть дан угол с вершиной $$O$$ и точка $$A$$, лежащая внутри него.

Построим биссектрису $$OF$$ данного угла. Возьмём на одной из его сторон точку $$B$$ и опустим из точки $$F$$ перпендикуляр $$FB$$ на эту сторону. Тогда окружность с центром в точке $$F$$ и радиусом $$FB$$ касается обеих сторон угла, так как точка $$F$$ равноудалена от его сторон.

Проведём луч $$OA$$ и отметим точку $$H$$ — одну из точек пересечения этого луча с построенной окружностью.

Через точку $$A$$ проведём прямую, параллельную прямой $$HF$$, и обозначим через $$F_1$$ точку её пересечения с биссектрисой $$OF$$.

Проведём окружность с центром в точке $$F_1$$ и радиусом $$F_1A$$. Эта окружность проходит через точку $$A$$. Кроме того, так как $$F_1$$ лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от его сторон, значит, окружность с центром $$F_1$$ и радиусом $$F_1A$$ касается обеих сторон угла.

Следовательно, построенная окружность является искомой.