Вопрос 8 Параграф 8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 7 класс, Просвещение: 8. Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида ах + by + с = 0.

Подробный ответ

Пусть дана произвольная прямая $$h$$ на плоскости $$xy$$. Проведём к ней перпендикуляр и отметим на нём по разные стороны от точки пересечения $$C$$ с прямой $$h$$ две точки $$A_1$$ и $$A_2$$ так, чтобы $$CA_1=CA_2$$.

Обозначим координаты этих точек: $$A_1(a_1;b_1)$$ и $$A_2(a_2;b_2)$$.

Точка $$A(x;y)$$ принадлежит прямой $$h$$ тогда и только тогда, когда она равноудалена от точек $$A_1$$ и $$A_2$$. Поэтому

$$ (x-a_1)^2+(y-b_1)^2=(x-a_2)^2+(y-b_2)^2. $$

Раскроем скобки и перенесём все члены в левую часть:

$$ x^2-2a_1x+a_1^2+y^2-2b_1y+b_1^2-x^2+2a_2x-a_2^2-y^2+2b_2y-b_2^2=0, $$

$$ 2(a_2-a_1)x+2(b_2-b_1)y+(a_1^2+b_1^2-a_2^2-b_2^2)=0. $$

Обозначим

$$ a=2(a_2-a_1),\quad b=2(b_2-b_1),\quad c=a_1^2+b_1^2-a_2^2-b_2^2. $$

Тогда получаем уравнение

$$ ax+by+c=0. $$

Следовательно, любая прямая на плоскости в декартовых координатах задаётся уравнением вида $$ax+by+c=0$$.