Вопрос 8 Параграф 7 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Доказать: в треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других
сторон;
Доказательсвто:
1) Пусть ABC-данный треугольник;
2) Провведем перпендикуляр CD на прямую AB, тогда: AB=AD+BD;
3) AD < AC и BD < BC (как наклонные и их проекции), отсюда следует, что: AB < AC+BC; 4) Аналогично, проведением перпендикуляров из вершин A и B, доказывается, что: BC < AB+AC и AC < AB+BC; 5) Таким образом, в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон, что и требовалось доказать;

Подробный ответ

Пусть $$ABC$$ — данный треугольник. Проведём высоту $$CD$$ к прямой $$AB$$, где $$D \in AB$$.

Тогда $$AB=AD+DB$$. Кроме того, $$AD<AC$$ и $$DB<BC$$ как проекции наклонных $$AC$$ и $$BC$$ на прямую $$AB$$.

Складывая неравенства, получаем:

$$AB=AD+DB<AC+BC.$$

Аналогично, проводя высоты из вершин $$A$$ и $$B$$, получаем:

$$BC<AB+AC,$$

$$AC<AB+BC.$$

Следовательно, в любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других сторон.