Упр.15.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)
- Докажите, что если четыре прямые, проходящие через точку $$A$$, пересекают плоскость $$\alpha$$ в вершинах параллелограмма, то они пересекают любую плоскость, параллельную $$\alpha$$ и не проходящую через точку $$A$$, тоже в вершинах параллелограмма.
Пусть данные прямые пересекают плоскость $$\alpha$$ в точках $$K_1, K_2, K_3, K_4$$, а параллельную ей плоскость $$\beta$$ — в точках $$M_1, M_2, M_3, M_4$$.
Прямые $$K_1M_1$$ и $$K_2M_2$$ пересекаются в точке $$A$$, значит, через них можно провести плоскость $$\gamma$$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ по прямым $$K_1K_2$$ и $$M_1M_2$$, следовательно,
$$K_1K_2 \parallel M_1M_2.$$
Аналогично получаем:
$$K_2K_3 \parallel M_2M_3,\qquad K_3K_4 \parallel M_3M_4,\qquad K_1K_4 \parallel M_1M_4.$$
По условию $$K_1K_2K_3K_4$$ — параллелограмм, значит,
$$K_1K_2 \parallel K_3K_4,\qquad K_2K_3 \parallel K_1K_4.$$
Тогда из уже найденных параллельностей имеем:
$$M_1M_2 \parallel K_1K_2 \parallel K_3K_4 \parallel M_3M_4,$$
то есть
$$M_1M_2 \parallel M_3M_4.$$
Аналогично:
$$M_2M_3 \parallel K_2K_3 \parallel K_1K_4 \parallel M_1M_4,$$
значит,
$$M_2M_3 \parallel M_1M_4.$$
Следовательно, противоположные стороны четырёхугольника $$M_1M_2M_3M_4$$ попарно параллельны, значит, он является параллелограммом.
Ответ
Четырёхугольник $$M_1M_2M_3M_4$$ — параллелограмм.
