Упр.12.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Найдите высоты треугольника в задаче 1.

Пусть стороны треугольника равны $$a=5\text{ м},\quad b=6\text{ м},\quad c=7\text{ м}.$$

Высоты найдём по формуле

$$h_a=\sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+a^2-b^2}{2a}\right)^2},\quad h_b=\sqrt{c^2-\left(\frac{c^2+b^2-a^2}{2b}\right)^2},\quad h_c=\sqrt{b^2-\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2c}\right)^2}.$$

1) Высота, опущенная на сторону $$a$$:

$$h_a=\sqrt{7^2-\left(\frac{7^2+5^2-6^2}{2\cdot 5}\right)^2} =\sqrt{49-\left(\frac{38}{10}\right)^2} =\sqrt{49-\left(\frac{19}{5}\right)^2}$$

$$=\sqrt{\frac{1225-361}{25}} =\sqrt{\frac{864}{25}} =\sqrt{\frac{144\cdot 6}{25}} =\frac{12\sqrt6}{5}\text{ м}.$$

2) Высота, опущенная на сторону $$b$$:

$$h_b=\sqrt{7^2-\left(\frac{7^2+6^2-5^2}{2\cdot 6}\right)^2} =\sqrt{49-\left(\frac{60}{12}\right)^2} =\sqrt{49-5^2} =\sqrt{24} =2\sqrt6\text{ м}.$$

3) Высота, опущенная на сторону $$c$$:

$$h_c=\sqrt{6^2-\left(\frac{6^2+7^2-5^2}{2\cdot 7}\right)^2} =\sqrt{36-\left(\frac{60}{14}\right)^2} =\sqrt{36-\left(\frac{30}{7}\right)^2}$$

$$=\sqrt{\frac{1764-900}{49}} =\sqrt{\frac{864}{49}} =\sqrt{\frac{144\cdot 6}{49}} =\frac{12\sqrt6}{7}\text{ м}.$$

Ответ: $$\frac{12\sqrt6}{5}\text{ м},\ 2\sqrt6\text{ м},\ \frac{12\sqrt6}{7}\text{ м}.$$