Вопрос 8 Параграф 11 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

I) Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними:
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны,
то треугольники подобны;
II) Отобразим условие задачи:
Доказать: признак подобия треугольников по двум сторонам и углу
между ними;
Доказательство:
1) Пусть у треугольников ABC и A1 B1 C1: угол C = углу C1, AC=k•A1 C1 и
BC=k•B1 C1;
2) Подвергнем треугольник A1 B1 C1 преобразованию подобия с
коэффициентом подобия k, например гомотетии, при этом получим
некоторый треугольник A2 B2 C2;
3) Рассмотрим треугольники ABC и A2 B2 C2:
угол C2 = углу C1 = углу C (так как преобразование подобия сохраняет углы),
A2 C2=k•A1 C1=AC и B2 C2=k•B1 C1=BC, следовательно эти
треугольники равны по первому признаку;
4) Так как треугольники A1 B1 C1 и A2 B2 C2 гомотетичны и подобны, а
треугольники A2 B2 C2 и ABC равны и поэтому тоже подобны, то
треугольники A1 B1 C1 и ABC подобны, что и требовалось доказать.

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключённые между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Докажем это.

Пусть у треугольников $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ выполнено:

$$\angle C=\angle C_1,$$

$$AC=k\cdot A_1C_1,\qquad BC=k\cdot B_1C_1.$$

Построим треугольник $$A_2B_2C_2$$, полученный из треугольника $$A_1B_1C_1$$ преобразованием подобия с коэффициентом $$k$$. Тогда

$$\angle C_2=\angle C_1,$$

$$A_2C_2=k\cdot A_1C_1=AC,$$

$$B_2C_2=k\cdot B_1C_1=BC.$$

Следовательно, треугольники $$ABC$$ и $$A_2B_2C_2$$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Но треугольники $$A_1B_1C_1$$ и $$A_2B_2C_2$$ подобны по построению, значит, и треугольник $$A_1B_1C_1$$ подобен треугольнику $$ABC$$.

Итак, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между ними равны, то треугольники подобны. Что и требовалось доказать.