Упр.9.8 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Докажите, что у параллелограмма точка пересечения диагоналей является центром симметрии.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, а $$O$$ — точка пересечения его диагоналей.

По свойству параллелограмма диагонали делятся точкой пересечения пополам, значит

$$AO=OC,\qquad BO=OD.$$

Следовательно, при центральной симметрии с центром $$O$$ точка $$A$$ переходит в $$C$$, а точка $$B$$ — в $$D$$.

Возьмём произвольную точку $$E$$ на стороне $$BC$$ и проведём прямую $$EO$$. Пусть она пересекает сторону $$AD$$ в точке $$F$$.

Рассмотрим треугольники $$AOF$$ и $$COE$$.

$$\angle AOF=\angle EOC$$ — вертикальные углы.

$$\angle AFO=\angle CEO$$ — внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$EF$$.

Кроме того, $$AO=OC$$.

Значит, $$\triangle AOF \cong \triangle COE$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$OF=OE,$$

то есть точки $$E$$ и $$F$$ симметричны относительно точки $$O$$.

Аналогично доказывается, что любая точка стороны $$AB$$ переходит в точку стороны $$CD$$.

Итак, при центральной симметрии относительно точки $$O$$ каждая точка параллелограмма переходит в другую точку этого же параллелограмма. Значит, точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.