Упр.6.77 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

Задача

Вопрос: могут ли основания высот треугольника лежать на одной прямой;
Решение:
1) Пусть треугольник ABC-прямоугольный.с прямым углом B;
2) Так как AB перпендикулярен BC, то высоты, опущенные их точек A и C, пересекутся
в точке B, которая будет являться основанием этих высот;
3) Проведем высоту BB1 из точки B, тогда все три точки оснований высот
будут лежать на одной прямой-BB1;
Ответ: могут, в случае прямоугольного треугольника.

Подробный ответ

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$B$$.

Так как $$AB \perp BC$$, то высота, опущенная из точки $$A$$ на сторону $$BC$$, совпадает с прямой $$AB$$, а высота, опущенная из точки $$C$$ на сторону $$AB$$, совпадает с прямой $$BC$$. Их основания находятся в точке $$B$$.

Проведём третью высоту $$BB_1$$ из вершины $$B$$ к гипотенузе $$AC$$. Тогда все три основания высот лежат на одной прямой $$BB_1$$.

Следовательно, основания высот треугольника могут лежать на одной прямой, но только в случае прямоугольного треугольника.