Упр.6.77 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Середины сторон любого треугольника не могут лежать на одной прямой (по теореме 1.1). А могут ли основания высот треугольника лежать на одной прямой и в каком случае?

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABC$$ с прямым углом $$B$$.

Так как $$AB \perp BC$$, то высота, опущенная из вершины $$A$$, совпадает с прямой $$AB$$, а высота, опущенная из вершины $$C$$, совпадает с прямой $$BC$$. Их основаниями будут точки $$B$$ и $$B$$.

Проведём третью высоту $$BB_1$$ из вершины $$B$$ к гипотенузе $$AC$$. Тогда основания всех трёх высот лежат на одной прямой $$BB_1$$: две из них совпадают с точкой $$B$$, а третье — точка $$B_1$$.

Следовательно, основания высот треугольника могут лежать на одной прямой только в случае прямоугольного треугольника.

Ответ: могут, в случае прямоугольного треугольника.