Упр.6.76 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

1. Решите предыдущую задачу для случая равнобедренного треугольника, не являющегося прямоугольным и равносторонним. Найдите, сколько различных точек лежит на окружности Эйлера в случае равнобедренного треугольника.

Пусть $$ABC$$ — данный равнобедренный треугольник с основанием $$AC$$. Проведём его высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то высота $$BB_1$$ является также медианой, значит, точка $$B_1$$ — середина стороны $$AC$$.

Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот треугольника. Тогда $$H$$ — ортоцентр. На отрезках $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$ отметим их середины $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$.

Кроме того, на сторонах $$BC$$ и $$AB$$ отметим середины $$A_3$$ и $$C_3$$. Эти точки не совпадают с $$A_1$$ и $$C_1$$, так как в противном случае треугольник был бы равносторонним, а по условию он не равносторонний.

Следовательно, на окружности Эйлера лежат восемь различных точек:

$$A_1,\ A_2,\ A_3,\ B_1,\ B_2,\ C_1,\ C_2,\ C_3.$$

Ответ: $$8$$.