Упр.6.75 ГДЗ Погорелов 7-9 класс (Геометрия)

В общем случае на окружности Эйлера лежат девять точек (середины сторон треугольника, середины отрезков, соединяющих его ортоцентр с вершинами, и основания высот треугольника). Сколько различных точек из них лежит на окружности Эйлера в случае равностороннего треугольника?

Пусть $$ABC$$ — данный равносторонний треугольник.

Проведём его высоты $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$. В равностороннем треугольнике высоты являются одновременно медианами, поэтому точки $$A_1$$, $$B_1$$ и $$C_1$$ одновременно являются основаниями высот и серединами сторон треугольника $$ABC$$.

Обозначим через $$H$$ точку пересечения высот треугольника. Это ортоцентр.

Теперь рассмотрим середины отрезков $$AH$$, $$BH$$ и $$CH$$. Обозначим их через $$A_2$$, $$B_2$$ и $$C_2$$ соответственно.

В равностороннем треугольнике все эти точки различны, поэтому на окружности Эйлера лежат:

$$A_1,\ A_2,\ B_1,\ B_2,\ C_1,\ C_2.$$

Итак, различных точек на окружности Эйлера в случае равностороннего треугольника будет $$6$$.

Ответ: $$6$$.